Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla de
sobre a região
, que é um triângulo com vértices em
,
e
. Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e entender bem a região onde vamos integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o triângulo
no plano coordenado. Os vértices são
,
e
. Isso forma um triângulo com base no eixo
e um lado inclinado.
Passo 3
Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Vamos fixar
variando de 0 a 2. Para cada valor de
,
varia de 0 até a linha que conecta
e
.
Passo 4
Encontrar a equação dessa linha. Entre
e
, a inclinação é
. Então, a equação da reta é
.
Passo 5
Mas como
sempre está acima de 0 no triângulo, os limites para
serão de 0 a
para
entre 1 e 2. Para
entre 0 e 1,
varia apenas até 0, então precisamos dividir a integral em duas partes.
Passo 6
Integrando de 0 a 1,
vai de 0 a 0, o que não contribui para a integral. Portanto, a única parte que importa é de
a
, com
de 0 a
.
Passo 7
Agora, configuramos a integral dupla:
Passo 8
Vamos resolver a integral interna primeiro:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Fazendo a substituição
, quando
,
; quando
,
:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Calcule
sendo dados
e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
Calcule
sendo dados
e
.
Inverta a ordem de integração
.
Inverta a ordem de integração
.