Calcule , onde é o triângulo de vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo! A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é um triângulo com vértices em , e . Para isso, vamos usar os conceitos de integrais duplas e entender bem a região onde vamos integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o triângulo no plano coordenado. Os vértices são , e . Isso forma um triângulo com base no eixo e um lado inclinado.

Passo 3

Para configurar a integral dupla, precisamos determinar os limites de integração. Vamos fixar variando de 0 a 2. Para cada valor de , varia de 0 até a linha que conecta e .

Passo 4

Encontrar a equação dessa linha. Entre e , a inclinação é . Então, a equação da reta é .

Passo 5

Mas como sempre está acima de 0 no triângulo, os limites para serão de 0 a para entre 1 e 2. Para entre 0 e 1, varia apenas até 0, então precisamos dividir a integral em duas partes.

Passo 6

Integrando de 0 a 1, vai de 0 a 0, o que não contribui para a integral. Portanto, a única parte que importa é de a , com de 0 a .

Passo 7

Agora, configuramos a integral dupla:

Passo 8

Vamos resolver a integral interna primeiro:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , quando , ; quando , :

Resposta

O valor da integral dupla é .

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