Calcule
sendo dados
e
o conjunto de todos os
tais que
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral dupla
, onde a função
é igual a 1. A região
é definida por todos os pontos
que satisfazem as condições
e
.
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas e geometria analítica para determinar a área da região
.
Passo 2
Como
, a integral dupla
representa a área da região
. Nosso objetivo é encontrar essa área.
Passo 3
Vamos visualizar as condições que definem a região
:
-
: Isso representa a região acima da parábola . -
: Isso significa que está entre a reta e a reta .
Passo 4
Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações:
-
e : -
e :
Passo 5
Com os pontos de interseção determinados, vemos que a região
se divide em três partes com base nos valores de
:
- Para
de a : vai de até . - Para
de a : vai de até . - Para
de a : vai de até .
Passo 6
Agora, vamos escrever a integral dupla como a soma das integrais sobre essas três sub-regiões:
Passo 7
Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
-
Primeira integral (
de a ): Calculando: -
Segunda integral (
de a ): -
Terceira integral (
de a ): Calculando:
Passo 8
Agora, somamos as áreas das três sub-regiões:
Resposta
A integral dupla
vale
.
Exercícios relacionados
Calcule
sendo dados
e
.
Calcule
, onde
é a região compreendida entre os gráficos de
e
, com
.
Calcule
, onde
é o triângulo de vértices
e
.
Inverta a ordem de integração
.