Calcule sendo dados e o conjunto de todos os tais que e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral dupla , onde a função é igual a 1. A região é definida por todos os pontos que satisfazem as condições e .
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas e geometria analítica para determinar a área da região .

Passo 2

Como , a integral dupla representa a área da região . Nosso objetivo é encontrar essa área.

Passo 3

Vamos visualizar as condições que definem a região :
  1. : Isso representa a região acima da parábola .
  2. : Isso significa que está entre a reta e a reta .

Passo 4

Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações:
  1. e :
  2. e :

Passo 5

Com os pontos de interseção determinados, vemos que a região se divide em três partes com base nos valores de :
  1. Para de a : vai de até .
  2. Para de a : vai de até .
  3. Para de a : vai de até .

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral dupla como a soma das integrais sobre essas três sub-regiões:
Á

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral ( de a ):
    Calculando:
  2. Segunda integral ( de a ):
  3. Terceira integral ( de a ):
    Calculando:

Passo 8

Agora, somamos as áreas das três sub-regiões:
Á

Resposta

A integral dupla vale .

Exercícios relacionados

Calcule sendo dados e 𝟚.
Calcule , onde é a região compreendida entre os gráficos de e , com .
Calcule , onde é o triângulo de vértices e .
Inverta a ordem de integração .