Calcule integral duplaB f(x, y) d x d y sendo dados f(x, y)=1 e B o conjunto de todos os (x, y) tais que y >= x^2 e x <= y <= x+2.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos calcular a integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy, onde a função f(x, y) é igual a 1. A região B é definida por todos os pontos (x, y) que satisfazem as condições y >= x^2 e x <= y <= x+2.
Aqui, estamos lidando com cálculo de integrais duplas e geometria analítica para determinar a área da região B.

Passo 2

Como f(x, y) = 1, a integral dupla integral duplaB 1 , dx , dy representa a área da região B. Nosso objetivo é encontrar essa área.

Passo 3

Vamos visualizar as condições que definem a região B:
  1. y >= x^2: Isso representa a região acima da parábola y = x^2.
  2. x <= y <= x+2: Isso significa que y está entre a reta y = x e a reta y = x + 2.

Passo 4

Precisamos encontrar os pontos de interseção entre as curvas para determinar os limites de integração. Vamos resolver as equações:
  1. y = x^2 e y = x: x^2 = x implies x^2 - x = 0 implies x(x - 1) = 0 implies x = 0 ou x = 1
  2. y = x^2 e y = x + 2: x^2 = x + 2 implies x^2 - x - 2 = 0 implies x = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 implies x = 2 ou x = -1

Passo 5

Com os pontos de interseção determinados, vemos que a região B se divide em três partes com base nos valores de x:
  1. Para x de -1 a 0: y vai de x^2 até x + 2.
  2. Para x de 0 a 1: y vai de x até x + 2.
  3. Para x de 1 a 2: y vai de x^2 até x + 2.

Passo 6

Agora, vamos escrever a integral dupla como a soma das integrais sobre essas três sub-regiões:
Área = integral-1^0 integralx^2^x + 2 dy , dx + integral0^1 integralx^x + 2 dy , dx + integral1^2 integralx^2^x + 2 dy , dx Á

Passo 7

Vamos calcular cada uma dessas integrais separadamente.
  1. Primeira integral ( x de -1 a 0):
    integral-1^0 integralx^2^x + 2 dy , dx = integral-1^0 [(x + 2) - x^2] dx = integral-1^0 (-x^2 + x + 2) dx
    Calculando:
    [-x^33 + x^22 + 2x ]-1^0 = [0 + 0 + 0] - [-(-1)^33 + (-1)^22 + 2(-1)] = 0 - [13 + 12 - 2] = 76
  2. Segunda integral ( x de 0 a 1):
    integral0^1 integralx^x + 2 dy , dx = integral0^1 [(x + 2) - x] dx = integral0^1 2 , dx = 2
  3. Terceira integral ( x de 1 a 2):
    integral1^2 integralx^2^x + 2 dy , dx = integral1^2 [(x + 2) - x^2] dx = integral1^2 (-x^2 + x + 2) dx
    Calculando:
    [-x^33 + x^22 + 2x ]1^2 = [-83 + 2 + 4] - [-13 + 12 + 2] = [103] - [76] = 136

Passo 8

Agora, somamos as áreas das três sub-regiões:
Área total = 76 + 2 + 136 = 7 + 12 + 136 = 326 = 163 Á

Resposta

A integral dupla integral duplaB f(x, y) , dx , dy vale dfrac163.

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