Calcule integral duplaB y^2 d x d y onde B=(x, y) in R^2 mid x^2+y^2 <= 1, y >= x e x >= 0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por , e .
Conteúdo envolvido:
  • Integral Dupla: Para calcular áreas sob superfícies em regiões bidimensionais.
  • Geometria Analítica: Para entender a região de integração .
  • Mudança para Coordenadas Polares (se necessário): Facilita o cálculo em regiões circulares.
Vamos precisar entender como descrever a região e configurar os limites de integração para calcular a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve o interior e a fronteira do círculo de raio 1 centrado na origem. As outras condições são e .
Vamos esboçar essa região:
  • : Estamos olhando apenas para a parte direita do eixo .
  • : A região acima da reta .
Então, é a parte do círculo unitário que está à direita do eixo e acima da reta .

Passo 3

Para configurar a integral, precisamos determinar os limites de e . Vamos resolver em coordenadas cartesianas primeiro.
Sabemos que:
  • varia de 0 até onde? No círculo unitário, vai de 0 a 1.
  • Para cada , varia de (pela condição ) até a fronteira do círculo, que é .
Então, os limites de integração ficam:
  • de 0 a 1.
  • de a .

Passo 4

Agora, podemos escrever a integral dupla com esses limites:
integral duplaB y^2 , dx , dy = integralx=0^1 integraly=x^raiz1 - x^2 y^2 , dy , dx
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a .

Passo 5

Calculando a integral interna:
integraly=x^raiz1 - x^2 y^2 , dy
A antiderivada de y^33 |y=x^raiz1 - x^2 = (raiz1 - x^2)^33 - x^33 em relação a (1 - x^2)^323 - x^33 é . Então:
Simplificando:

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral externa:
integral0^1 ( (1 - x^2)^323 - x^33 ) dx = 13 integral0^1 (1 - x^2)^32 , dx - 13 integral0^1 x^3 , dx
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.

Passo 7

Primeiro, a integral x^44 |0^1 = 14 - 0 = 14 :
A antiderivada de é , então:
Agora, a segunda integral é um pouco mais complexa: .

Passo 8

Para resolver x = sin theta Rightarrow dx = cos theta , dtheta , podemos usar uma substituição trigonométrica. Vamos usar:
integral0^pi2 (1 - sin^2 theta )^32 cos theta , dtheta = integral0^pi2 cos^3 theta cdot cos theta , dtheta = integral0^pi2 cos^4 theta , dtheta
Quando , , e quando , .
Substituindo na integral:

Passo 9

A integral cos^4 theta = ( cos^2 theta )^2 = ( 1 + cos 2theta2 )^2 = 14 (1 + 2cos 2theta + cos^2 2theta) pode ser resolvida usando identidades trigonométricas:
integral cos^4 theta , dtheta = 14 integral (1 + 2cos 2theta + cos^2 2theta) , dtheta
Então:
Agora, vamos integrar cada termo separadamente.

Passo 10

Integrando cada termo:
  1. integral cos^2 2theta , dtheta = 12 integral (1 + cos 4theta) , dtheta = 12 ( theta + sin 4theta4 )
  2. 14 ( theta + sin 2theta + 12 theta + sin 4theta8 ) = 14 ( 32 theta + sin 2theta + sin 4theta8 )
  3. 32 cdot pi2 + sin pi + sin 2pi8 = 3pi4 + 0 + 0 = 3pi4 : usamos a identidade 0 + 0 + 0 = 0 :
14 cdot 3pi4 = 3pi16
Então, juntando tudo:
Avaliado de 0 a :
Quando :
Quando :
Portanto, a integral é:

Passo 11

Agora, voltando à nossa expressão original:
13 integral0^1 (1 - x^2)^32 , dx - 13 integral0^1 x^3 , dx = 13 cdot 3pi16 - 13 cdot 14 = pi16 - 112

Resposta

A integral dupla vale .

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