Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral dupla , onde a região é definida por , e .
Conteúdo envolvido:
Integral Dupla: Para calcular áreas sob superfícies em regiões bidimensionais.
Geometria Analítica: Para entender a região de integração .
Mudança para Coordenadas Polares (se necessário): Facilita o cálculo em regiões circulares.
Vamos precisar entender como descrever a região e configurar os limites de integração para calcular a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a região . A condição descreve o interior e a fronteira do círculo de raio 1 centrado na origem. As outras condições são e .
Vamos esboçar essa região:
: Estamos olhando apenas para a parte direita do eixo .
: A região acima da reta .
Então, é a parte do círculo unitário que está à direita do eixo e acima da reta .
Passo 3
Para configurar a integral, precisamos determinar os limites de e . Vamos resolver em coordenadas cartesianas primeiro.
Sabemos que:
varia de 0 até onde? No círculo unitário, vai de 0 a 1.
Para cada , varia de (pela condição ) até a fronteira do círculo, que é .
Então, os limites de integração ficam:
de 0 a 1.
de a .
Passo 4
Agora, podemos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos calcular a integral interna primeiro, em relação a .
Passo 5
Calculando a integral interna:
A antiderivada de em relação a é . Então:
Simplificando:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral externa: