Calcule integral duplaB raizx^2+y^2 d x d y onde B é o quadrado 0 <= x <= 1,0 <= y <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral dupla integral duplaB raizx^2+y^2 , dx , dy, onde B é o quadrado definido por 0 <= x <= 1 e 0 <= y <= 1. Vamos usar conceitos de cálculo integral dupla e coordenadas cartesianas para resolver esse problema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a integral dupla representa. Ela calcula a soma de todos os valores da função raizx^2+y^2 sobre a área B do quadrado. Para isso, vamos integrar a função primeiro em relação a x e depois em relação a y.

Passo 3

Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
integral0^1 integral0^1 raizx^2+y^2 , dx , dy
Isso significa que vamos integrar raizx^2+y^2 com x variando de 0 a 1 para cada valor fixo de y, e depois integrar o resultado com y variando de 0 a 1.

Passo 4

Vamos calcular a integral interna em relação a x:
integral0^1 raizx^2+y^2 , dx
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de funções do tipo raizx^2 + a^2, onde a é uma constante. A antiderivada é:
x2 raizx^2 + y^2 + y^22 ln(x + raizx^2+y^2)

Passo 5

Avaliamos a antiderivada de x=0 a x=1:
[ x2 raizx^2 + y^2 + y^22 ln(x + raizx^2+y^2) ]0^1
Substituindo x=1 e x=0, temos:
12 raiz1 + y^2 + y^22 ln(1 + raiz1 + y^2) - (0 + y^22 ln(y))
Simplificando:
12 raiz1 + y^2 + y^22 ln(1 + raiz1 + y^2y)

Passo 6

Agora, integramos esse resultado em relação a y de 0 a 1:
integral0^1 ( 12 raiz1 + y^2 + y^22 ln(1 + raiz1 + y^2y) ) dy
Essa integral pode ser complexa e, para simplificação, podemos aproximar seu valor numéricamente.

Passo 7

Utilizando métodos de integração numérica ou uma calculadora, encontramos que o valor aproximado da integral é:
integral duplaB raizx^2+y^2 , dx , dy approx 0,765

Resposta

O valor da integral dupla é aproximadamente 0,!765.

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