Calcule
onde
é o quadrado
.
Passo 1
Vamos calcular a integral dupla
, onde
é o quadrado definido por
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral dupla e coordenadas cartesianas para resolver esse problema.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a integral dupla representa. Ela calcula a soma de todos os valores da função
sobre a área
do quadrado. Para isso, vamos integrar a função primeiro em relação a
e depois em relação a
.
Passo 3
Escrevemos a integral dupla como uma integral iterada:
Isso significa que vamos integrar
com
variando de
a
para cada valor fixo de
, e depois integrar o resultado com
variando de
a
.
Passo 4
Vamos calcular a integral interna em relação a
:
Para resolver essa integral, usamos a fórmula de integração de funções do tipo
, onde
é uma constante. A antiderivada é:
Passo 5
Avaliamos a antiderivada de
a
:
Substituindo
e
, temos:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos esse resultado em relação a
de
a
:
Essa integral pode ser complexa e, para simplificação, podemos aproximar seu valor numéricamente.
Passo 7
Utilizando métodos de integração numérica ou uma calculadora, encontramos que o valor aproximado da integral é:
Resposta
O valor da integral dupla é aproximadamente
.