vol , onde é o círculo . Para calcular a integral, fixe e integre em relação a ; em seguida, faça .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido no exercício. Precisamos calcular o volume dado pela integral dupla:
Onde é o círculo definido por . Para resolver essa integral, vamos integrar primeiro em relação a mantendo fixo e, em seguida, fazer a substituição . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e coordenadas polares para facilitar a resolução.
Passo 2
Vamos começar identificando os limites de integração para com fixo. A região é um círculo com centro em e raio 1. Para um valor fixo de , os limites de vão de:
Passo 3
Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, integramos em relação a :
Aqui, os limites de vão de 0 a 2 porque o círculo está centrado em com raio 1.
Passo 4
Vamos integrar a função em relação a :
Passo 5
Agora, aplicamos os limites de integração para :
Simplificando, percebemos que os termos ímpares em se anulam, e ficamos com:
Passo 6
Agora, substituímos vol = integral-pi2^pi2 [4(x) cos theta - 2(cos theta)^33] cos theta dtheta . Isso implica que vol = integral-pi2^pi2 [4(1 + sin theta) cos theta - 2cos^3 theta3] cos theta dtheta . Quando , e quando , .
A expressão se transforma em . Substituindo na integral: