vol =integral duplaA[2 x-(x^2+y^2)] d x d y, onde A é o círculo (x-1)^2+y^2 <= 1. Para calcular a integral, fixe x e integre em relação a y; em seguida, faça x-1=sen theta.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido no exercício. Precisamos calcular o volume dado pela integral dupla:
vol = integral duplaA[2 x - (x^2 + y^2)] dx, dy
Onde é o círculo definido por . Para resolver essa integral, vamos integrar primeiro em relação a mantendo fixo e, em seguida, fazer a substituição . Vamos usar conhecimentos de cálculo integral e coordenadas polares para facilitar a resolução.

Passo 2

Vamos começar identificando os limites de integração para y = -raiz1 - (x - 1)^2 até y = raiz1 - (x - 1)^2 com fixo. A região é um círculo com centro em e raio 1. Para um valor fixo de , os limites de vão de:
é

Passo 3

Agora, vamos escrever a integral dupla como uma integral iterada. Primeiro, integramos em relação a vol = integral0^2 ( integral-raiz1 - (x - 1)^2^raiz1 - (x - 1)^2 [2x - (x^2 + y^2)] dy ) dx :
Aqui, os limites de vão de 0 a 2 porque o círculo está centrado em com raio 1.

Passo 4

Vamos integrar a função integral [2x - x^2 - y^2] dy = [2x y - x^2 y - y^33]-raiz1 - (x - 1)^2^raiz1 - (x - 1)^2 em relação a :

Passo 5

Agora, aplicamos os limites de integração para 2x cdot raiz1 - (x - 1)^2 - x^2 cdot raiz1 - (x - 1)^2 - (raiz1 - (x - 1)^2)^33 - ( -2x cdot raiz1 - (x - 1)^2 + x^2 cdot raiz1 - (x - 1)^2 + (-raiz1 - (x - 1)^2)^33 ) :
4x cdot raiz1 - (x - 1)^2 - 2(1 - (x - 1)^2)^3/23
Simplificando, percebemos que os termos ímpares em se anulam, e ficamos com:

Passo 6

Agora, substituímos vol = integral-pi2^pi2 [4(x) cos theta - 2(cos theta)^33] cos theta dtheta . Isso implica que vol = integral-pi2^pi2 [4(1 + sin theta) cos theta - 2cos^3 theta3] cos theta dtheta . Quando , e quando , .
A expressão se transforma em . Substituindo na integral:
Como , substituímos:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão dentro da integral:
4(1 + sin theta) cos^2 theta - 2cos^4 theta3
Agora, a integral se torna:
vol = integral-pi2^pi2 [4 cos^2 theta + 4 sin theta cos^2 theta - 2cos^4 theta3] dtheta

Passo 8

Vamos integrar termo a termo:
O segundo termo é uma função ímpar sobre um intervalo simétrico, logo sua integral é zero.

Passo 9

Calculando os demais termos:
  1. Sabemos que 4 integral-pi2^pi2 cos^2 theta dtheta = 4 cdot 12 integral-pi2^pi2 (1 + cos 2theta) dtheta = 2 [ theta + sin 2theta2 ]-pi2^pi2 = 2 [ pi + 0 ] = 2pi , então:
-23 integral-pi2^pi2 cos^4 theta dtheta
  1. Para o terceiro termo:
-23 cdot 38 integral-pi2^pi2 (3 + 4cos 2theta + cos 4theta) dtheta = -14 [ 3theta + 2sin 2theta + sin 4theta4 ]-pi2^pi2 = -14 cdot 3pi = -3pi4
Usando a fórmula :

Passo 10

Somando os resultados dos termos integrados:
2pi - 3pi4 = 8pi4 - 3pi4 = 5pi4

Resposta

O volume calculado é .

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