Calcule a integral integral duplaC F n d S, onde F(x, y, z)=y z i+x z j+x y k e S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2= 4 que está dentro do cilindro x^2+y^2=1 e acima do plano xy.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de superfície , onde . Aqui, é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, facilitando a vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
integral duplaS F cdot n , dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Ou seja, a integral de superfície de sobre é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Então, vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partialpartial x(y z) + partialpartial y(x z) + partialpartial z(x y) . A divergência de partialpartial x(y z) = 0 (porque y e z são constantes em relação a x) é dada por:
partialpartial y(x z) = 0 (mesma lógica)
Calculando cada termo:
partialpartial z(x y) = 0 (mesma lógica) ãçã
nabla cdot F = 0 + 0 + 0 = 0 ó
ó
Portanto,

Passo 4

Como a divergência de integral triplaV nabla cdot F , dV = 0 é zero, a integral de volume também será zero:
integral duplaC F cdot n , dS = 0
Portanto,

Resposta

A integral é igual a 0.

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