Calcule a integral
, onde
e
é a parte da esfera
4 que está dentro do cilindro
e acima do plano xy.
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a integral de superfície
, onde
. Aqui,
é a parte da esfera
que está dentro do cilindro
e acima do plano
. Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, facilitando a vida!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície de
sobre
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o volume
limitado por
.
Passo 3
Então, vamos calcular a divergência de
. A divergência de
é dada por:
Calculando cada termo:
Portanto,
Passo 4
Como a divergência de
é zero, a integral de volume também será zero:
Portanto,
Resposta
A integral
é igual a 0.
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(b) , onde
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(b)
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© , onde
é o cone
, com
.
©