Calcule a integral , onde e é a parte da esfera 4 que está dentro do cilindro e acima do plano xy.

Passo 1

Beleza! Vamos calcular a integral de superfície , onde . Aqui, é a parte da esfera que está dentro do cilindro e acima do plano . Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que nos ajuda a transformar integrais de superfície em integrais de volume, facilitando a vida!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Ou seja, a integral de superfície de sobre é igual à integral de volume da divergência de sobre o volume limitado por .

Passo 3

Então, vamos calcular a divergência de . A divergência de é dada por:
Calculando cada termo:
ãçã
ó
ó
Portanto,

Passo 4

Como a divergência de é zero, a integral de volume também será zero:
Portanto,

Resposta

A integral é igual a 0.

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(b) , onde é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.
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© , onde é o cone , com .