Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) , onde é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de sobre a semi-esfera positiva de centro na origem e raio 1. A gente vai usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, especificamente para superfícies esféricas. Precisamos entender como parametrizar a esfera e como calcular o elemento de área nessa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semi-esfera positiva usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera é representado por:
Aqui, é o ângulo polar (de 0 a para a semi-esfera positiva) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).

Passo 3

Na parametrização acima, a coordenada já está expressa em termos de :
Isso vai facilitar na hora de configurar nossa integral.

Passo 4

O elemento de área na esfera unitária em coordenadas esféricas é dado por:
Esse é um resultado padrão que vem da geometria das coordenadas esféricas.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla com essas expressões. Queremos calcular:
Aqui, varia de 0 a para cobrir a semi-esfera positiva, e varia de 0 a para dar a volta completa na esfera.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a :
Fazendo a substituição , , a integral se torna:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

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Calcule a integral , onde e é a parte da esfera 4 que está dentro do cilindro e acima do plano xy.
Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Defina e dê um exemplo de campo vetorial conservativo. Justifique.
Calcule as seguintes integrais de superfície:
© , onde é o cone , com .
Calcule a área das superfícies S :
b) S é a fronteira da região comum aos cilindros e .