Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) , onde é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de sobre a semi-esfera positiva de centro na origem e raio 1. A gente vai usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, especificamente para superfícies esféricas. Precisamos entender como parametrizar a esfera e como calcular o elemento de área nessa parametrização.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a semi-esfera positiva usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera é representado por:
Aqui, é o ângulo polar (de 0 a para a semi-esfera positiva) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).
Passo 3
Na parametrização acima, a coordenada já está expressa em termos de :
Isso vai facilitar na hora de configurar nossa integral.
Passo 4
O elemento de área na esfera unitária em coordenadas esféricas é dado por:
Esse é um resultado padrão que vem da geometria das coordenadas esféricas.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla com essas expressões. Queremos calcular:
Aqui, varia de 0 a para cobrir a semi-esfera positiva, e varia de 0 a para dar a volta completa na esfera.