Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) integral duplaS z d S, onde S é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de superfície de sobre a semi-esfera positiva de centro na origem e raio 1. A gente vai usar conceitos de cálculo de integrais de superfície, especificamente para superfícies esféricas. Precisamos entender como parametrizar a esfera e como calcular o elemento de área nessa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a semi-esfera positiva usando coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, um ponto na esfera é representado por:
x = sin phi cos theta
y = sin phi sin theta
z = cos phi
Aqui, é o ângulo polar (de 0 a para a semi-esfera positiva) e é o ângulo azimutal (de 0 a ).

Passo 3

Na parametrização acima, a coordenada z = cos phi já está expressa em termos de :
Isso vai facilitar na hora de configurar nossa integral.

Passo 4

O elemento de área dS = sin phi , dphi , dtheta na esfera unitária em coordenadas esféricas é dado por:
Esse é um resultado padrão que vem da geometria das coordenadas esféricas.

Passo 5

Agora, vamos montar a integral dupla com essas expressões. Queremos calcular:
integral duplaS z , dS = integral0^2pi integral0^pi2 cos phi cdot sin phi , dphi , dtheta
Aqui, varia de 0 a para cobrir a semi-esfera positiva, e varia de 0 a para dar a volta completa na esfera.

Passo 6

Vamos resolver a integral:
Primeiro, integramos em relação a integral0^pi2 cos phi cdot sin phi , dphi :
-integral1^0 u , du = integral0^1 u , du = u^22|0^1 = 12
Fazendo a substituição integral0^2pi 12 , dtheta = 12 cdot 2pi = pi , , a integral se torna:
Agora, integramos em relação a :

Resposta

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