Calcule as seguintes integrais de superfície:
©
, onde
é o cone
, com
.
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla
, onde
é um cone definido pela equação
, e
varia de
até
. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação do cone. A equação dada é:
Podemos rearranjar para isolar
:
Isso mostra que o cone é simétrico em relação ao eixo
.
Passo 3
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização. Em coordenadas cilíndricas, temos:
A equação do cone fica:
Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial
para a superfície do cone. Para uma superfície dada por
, o elemento de área em coordenadas cilíndricas é:
Calculando
:
Portanto:
Passo 4
Agora, substituímos
e a função que estamos integrando na integral dupla:
Aqui, os limites de integração para
vão de
até
(já que quando
,
), e
varia de
a
.
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo:
Integrando em relação a
:
Agora, integrando em relação a
:
Multiplicando tudo:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.