Calcule as seguintes integrais de superfície:
© integral duplaS raizx^2+y^2 d S, onde S é o cone x^2a^2+y^2a^2-z^2b^2=0, com 0 <= z <= b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de superfície juntos! A questão pede para calcular a integral dupla integral duplaS raizx^2+y^2 , dS, onde S é um cone definido pela equação x^2a^2+y^2a^2-z^2b^2=0, e z varia de 0 até b. Vamos usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente parametrização de superfícies e integração em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação do cone. A equação dada é:
x^2a^2 + y^2a^2 - z^2b^2 = 0
Podemos rearranjar para isolar z:
x^2 + y^2a^2 = z^2b^2 implies x^2 + y^2 = (a^2b^2) z^2
Isso mostra que o cone é simétrico em relação ao eixo z.

Passo 3

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar a parametrização. Em coordenadas cilíndricas, temos:
x = r costheta, y = r sintheta, z = z
A equação do cone fica:
r^2 = (a^2b^2) z^2 implies z = ba r
Agora, precisamos encontrar o elemento de área diferencial dS para a superfície do cone. Para uma superfície dada por z = f(r), o elemento de área em coordenadas cilíndricas é:
dS = raiz1 + (dzdr)^2 , r , dr , dtheta
Calculando dzdr:
dzdr = ba
Portanto:
dS = raiz1 + (ba)^2 , r , dr , dtheta = raiza^2 + b^2a , r , dr , dtheta

Passo 4

Agora, substituímos dS e a função que estamos integrando na integral dupla:
integral duplaS raizx^2 + y^2 , dS = integral0^2pi integral0^a r cdot raiza^2 + b^2a cdot r , dr , dtheta
Aqui, os limites de integração para r vão de 0 até a (já que quando z = b, r = a), e theta varia de 0 a 2pi.

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo:
integral duplaS raizx^2 + y^2 , dS = raiza^2 + b^2a integral0^2pi integral0^a r^2 , dr , dtheta
Integrando em relação a r:
integral0^a r^2 , dr = [ r^33 ]0^a = a^33
Agora, integrando em relação a theta:
integral0^2pi dtheta = 2pi
Multiplicando tudo:
raiza^2 + b^2a times a^33 times 2pi = 2pi a^2 raiza^2 + b^23

Resposta

A integral de superfície é igual a dfrac23 pi a^2 raiza^2 + b^2.

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