Defina ou enuncie os seguintes objetos ou teoremas: Defina e dê um exemplo de campo vetorial conservativo. Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é um campo vetorial conservativo e dar um exemplo dele, além de justificar por que é conservativo. Vamos precisar entender um pouquinho de cálculo vetorial, especificamente sobre campos vetoriais e condições para eles serem conservativos.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre o que é um campo vetorial. Imagine que em cada ponto do espaço, você tem uma seta (vetor) que aponta em alguma direção. Esse conjunto de setas é o que chamamos de campo vetorial. Por exemplo, o vento pode ser representado por um campo vetorial onde cada seta indica a direção e intensidade do vento em cada ponto.
Passo 3
Agora, para entender um campo vetorial conservativo, precisamos saber o que significa “conservativo”. Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser derivado de uma função escalar, chamada potencial. Isso quer dizer que o trabalho feito por esse campo ao se mover de um ponto a outro não depende do caminho seguido, mas apenas dos pontos inicial e final.
Passo 4
Para verificar se um campo vetorial é conservativo, uma condição matemática importante é que a sua rotacional (ou “curl” em inglês) seja zero. Em outras palavras, se calcularmos a rotacional do campo e o resultado for o vetor nulo, então o campo é conservativo.
Passo 5
Vamos dar um exemplo para clarear. Considere o campo vetorial
. Para verificar se ele é conservativo, calculamos sua rotacional:
Como a rotacional é zero, esse campo é conservativo.
Passo 6
Além disso, podemos encontrar uma função potencial para esse campo. Procuramos uma função
tal que:
Integrando
, obtemos
. Derivando em relação a
:
Então, a função potencial é
.
Resposta
Um campo vetorial conservativo é um campo que pode ser expresso como o gradiente de uma função potencial e cuja rotacional é zero. Exemplo:
. Esse campo é conservativo porque sua rotacional é zero e existe a função potencial
tal que
.
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Calcule a integral
, onde
e
é a parte da esfera
4 que está dentro do cilindro
e acima do plano xy.
Calcule as seguintes integrais de superfície:
(b) , onde
é a semi-esfera positiva de centro na origem e raio um.
(b)