Considere a integral
integral0^2 integralx^2^2 x(2 x+1) d y d x
b) Esboce a região de integração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar a região de integração da integral dupla dada. Isso envolve entender quais são os limites para as variáveis e e como elas se relacionam. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica para identificar as curvas que definem essa região.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar os limites da integral. A integral está escrita como:
integral0^2 integralx^2^2x (2x + 1) , dy , dx
Aqui, varia de 0 a 2, e para cada valor de , varia de a . Isso significa que a região de integração está entre as curvas e , para entre 0 e 2.

Passo 3

Vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para entender melhor a região. Igualando x^2 = 2x x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 :
Então, as curvas se intersectam em e .

Passo 4

Agora, vamos descrever a região. Para cada entre 0 e 2, começa na curva e vai até . Isso forma uma espécie de “lentamente” inclinada área entre a parábola e a reta .

Resposta

A região de integração é o conjunto de pontos no plano onde varia de 0 a 2 e, para cada , está entre a parábola e a reta . Visualmente, é a área delimitada pelas curvas e entre e .

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