Considere a integral
b) Esboce a região de integração.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para esboçar a região de integração da integral dupla dada. Isso envolve entender quais são os limites para as variáveis
e
e como elas se relacionam. Vamos precisar usar conhecimentos de geometria analítica para identificar as curvas que definem essa região.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar os limites da integral. A integral está escrita como:
Aqui,
varia de 0 a 2, e para cada valor de
,
varia de
a
. Isso significa que a região de integração está entre as curvas
e
, para
entre 0 e 2.
Passo 3
Vamos identificar onde essas duas curvas se encontram para entender melhor a região. Igualando
:
Então, as curvas se intersectam em
e
.
Passo 4
Agora, vamos descrever a região. Para cada
entre 0 e 2,
começa na curva
e vai até
. Isso forma uma espécie de “lentamente” inclinada área entre a parábola
e a reta
.
Resposta
A região de integração é o conjunto de pontos no plano
onde
varia de 0 a 2 e, para cada
,
está entre a parábola
e a reta
. Visualmente, é a área delimitada pelas curvas
e
entre
e
.
Exercícios relacionados
Seja
a região em
com
que é limitada por
e a reta
. Determine o valor de
.
Determine o volume do sólido limitado acima pelo plano
e abaixo pela região no plano
entre as curvas
e o eixo
.
Calcule as integrais abaixo:
Calcule
, onde
é a região limitada por
.