Calcule a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla onde é uma região trapezoidal delimitada pelos pontos , , e .
Matéria envolvida: Integrais duplas, mudança de variáveis e cálculo do jacobiano.
O que vamos precisar: Entender como transformar a região de integração e simplificar a função a ser integrada usando uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos os vértices em , , e . Isso forma um trapézio onde a base inferior está no eixo , de a , e a base superior é vertical em .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque, ao substituir, a função no expoente fica mais simples:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação para ajustar os limites de integração e a diferencial de área .
O jacobiano é dado por:
Resolvendo para e em termos de e :
Então, as derivadas parciais são:
Portanto, o jacobiano é:
Como a área não pode ser negativa, usamos o valor absoluto do jacobiano:

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Vamos mapear os vértices:
  1. : ,
  2. : ,
  3. : ,
  4. : ,
Observando esses pontos, vemos que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a .

Passo 6

Com tudo isso, reescrevemos a integral original em termos de e :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então . Os limites de serão de a .
Assim:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
Essa integral não possui uma antiderivada elemento, então vamos aproximar numericamente ou considerar que está além do escopo atual.

Resposta

A integral dada não possui uma solução analítica simples e requer métodos numéricos para ser avaliada. Portanto, a resposta final não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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