Calcule a integral integral duplaR exp (x+yx-y) d A onde R é a região trapezoidal limitada com vértices (0,0),(1,0),(2,1) e (2,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla integral duplaR exp (x+yx-y) d A onde é uma região trapezoidal delimitada pelos pontos , , e .
Matéria envolvida: Integrais duplas, mudança de variáveis e cálculo do jacobiano.
O que vamos precisar: Entender como transformar a região de integração e simplificar a função a ser integrada usando uma mudança de variável adequada.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Temos os vértices em , , e . Isso forma um trapézio onde a base inferior está no eixo , de a , e a base superior é vertical em .

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos definir:
u = x + y v = x - y
Essa escolha é estratégica porque, ao substituir, a função no expoente fica mais simples:
x+yx-y = uv

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação para ajustar os limites de integração e a diferencial de área J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v .
O jacobiano x = u + v2 y = u - v2 é dado por:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
Resolvendo para J = 12 & 12 12 & -12 = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12 e |J| = 12 em termos de e :
Então, as derivadas parciais são:
Portanto, o jacobiano é:
Como a área não pode ser negativa, usamos o valor absoluto do jacobiano:

Passo 5

Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Vamos mapear os vértices:
  1. : ,
  2. : ,
  3. : ,
  4. : ,
Observando esses pontos, vemos que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a .

Passo 6

Com tudo isso, reescrevemos a integral original em termos de integral duplaR exp (uv) cdot 12 , du , dv e 12 integralv=0^1 integralu=v^4 - v exp (uv) du , dv :
Agora, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em relação a integralu=v^4 - v exp (uv) du :
v integralt=1^4 - vv e^t , dt = v [ e^t ]1^4 - vv = v ( e^4 - vv - e^1 )
Fazendo a substituição , então . Os limites de serão de a .
Assim:

Passo 8

Agora, substituímos de volta na integral externa:
12 integralv=0^1 v ( e^4 - vv - e ) dv
Essa integral não possui uma antiderivada elemento, então vamos aproximar numericamente ou considerar que está além do escopo atual.

Resposta

A integral dada não possui uma solução analítica simples e requer métodos numéricos para ser avaliada. Portanto, a resposta final não pode ser expressa em termos de funções elementares.

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