Calcule a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla onde é uma região trapezoidal delimitada pelos pontos , , e .
Matéria envolvida: Integrais duplas, mudança de variáveis e cálculo do jacobiano.
O que vamos precisar: Entender como transformar a região de integração e simplificar a função a ser integrada usando uma mudança de variável adequada.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Temos os vértices em , , e . Isso forma um trapézio onde a base inferior está no eixo , de a , e a base superior é vertical em .
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Vamos definir:
Essa escolha é estratégica porque, ao substituir, a função no expoente fica mais simples:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o jacobiano dessa transformação para ajustar os limites de integração e a diferencial de área .
O jacobiano é dado por:
Resolvendo para e em termos de e :
Então, as derivadas parciais são:
Portanto, o jacobiano é:
Como a área não pode ser negativa, usamos o valor absoluto do jacobiano:
Passo 5
Agora, vamos determinar os novos limites de integração em termos de e . Vamos mapear os vértices:
: ,
: ,
: ,
: ,
Observando esses pontos, vemos que varia de 0 a 1 e, para cada , varia de a .
Passo 6
Com tudo isso, reescrevemos a integral original em termos de e :
Agora, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , então . Os limites de serão de a .
Assim:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Essa integral não possui uma antiderivada elemento, então vamos aproximar numericamente ou considerar que está além do escopo atual.
Resposta
A integral dada não possui uma solução analítica simples e requer métodos numéricos para ser avaliada. Portanto, a resposta final não pode ser expressa em termos de funções elementares.