Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule o centro de massa do sólido de densidade de massa constante interior ao cilindro , abaixo do cone e acima do plano .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer é achar o centro de massa de um sólido. Esse sólido está dentro de um cilindro definido por , está abaixo do cone e acima do plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que a simetria do problema combina bem com esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). Isso é útil aqui porque nosso sólido tem simetria circular.

Passo 3

Como a densidade é constante, o centro de massa pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
Mas, por causa da simetria do cilindro e do cone, sabemos que e . Então, só precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos calcular o volume do sólido. Em coordenadas cilíndricas, . Aqui, vai de 0 a 1 porque o raio do cilindro é 1, vai de 0 a para cobrir toda a volta, e vai de 0 até porque o alto do cone é .

Passo 5

Vamos resolver a integral para o volume:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral que nos dá :
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Integrando em relação a :
E finalmente, integrando em relação a :

Passo 7

Agora, podemos encontrar usando a fórmula:

Resposta

O centro de massa do sólido está em .

Exercícios relacionados

Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha as coordenadas do centro de massa em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução e acima pela calota esférica da esfera . Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.
Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha o momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução e acima pela calota esférica da esfera . Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.
Calcule a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e .
Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule as coordenadas do centro de massa de um sólido limitado superiormente pelo parabolóide , inferiormente pelo plano e lateralmente pelo cilindro . Suponha constante a densidade do sólido.