Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule o centro de massa do sólido de densidade de massa constante interior ao cilindro x^2 + y^2 = 1, abaixo do cone x² + y² = z² e acima do plano Oxy.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O que a gente precisa fazer é achar o centro de massa de um sólido. Esse sólido está dentro de um cilindro definido por , está abaixo do cone e acima do plano . Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar os cálculos, já que a simetria do problema combina bem com esse sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor o que são coordenadas cilíndricas. Elas são uma forma de representar pontos no espaço usando três valores: (a distância do ponto até o eixo ), (o ângulo em relação ao eixo ) e (a altura). Isso é útil aqui porque nosso sólido tem simetria circular.

Passo 3

Como a densidade é constante, o centro de massa pode ser calculado usando as seguintes fórmulas:
Mas, por causa da simetria do cilindro e do cone, sabemos que e . Então, só precisamos encontrar .

Passo 4

Vamos calcular o volume do sólido. Em coordenadas cilíndricas, . Aqui, vai de 0 a 1 porque o raio do cilindro é 1, vai de 0 a para cobrir toda a volta, e vai de 0 até porque o alto do cone é .

Passo 5

Vamos resolver a integral para o volume:

Passo 6

Agora, vamos calcular a integral que nos dá :
Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:
Integrando em relação a :
E finalmente, integrando em relação a :

Passo 7

Agora, podemos encontrar usando a fórmula:

Resposta

O centro de massa do sólido está em .

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