Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha as coordenadas do centro de massa em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução e acima pela calota esférica da esfera . Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente encontrar as coordenadas do centro de massa de um sólido. Esse sólido é limitado por um parabolóide de revolução dado por na parte de baixo e por uma calota esférica da esfera na parte de cima. A densidade desse sólido é constante e igual a 1. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas porque elas facilitam bastante os cálculos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender as equações que definem nosso sólido. O parabolóide pode ser reescrito em coordenadas cilíndricas como . A equação da esfera em coordenadas cilíndricas fica . A calota esférica será a parte da esfera acima do parabolóide.

Passo 3

Vamos encontrar os limites de integração. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Resolvendo isso, encontramos o valor de onde as duas superfícies se intersectam.

Passo 4

Vamos resolver a equação:
Multiplicando tudo por 9 para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Fazendo uma substituição :
Resolvendo essa equação quadrática para , encontramos:
Desprezamos a solução negativa, então:

Passo 5

Agora que temos no ponto de interseção, encontramos :
Então, os limites para vão de até , e varia de 0 a . O ângulo varia de 0 a devido à simetria circular.

Passo 6

Como a densidade é constante e igual a 1, o centro de massa terá e pela simetria. Precisamos calcular apenas , que é dado por:
Vamos calcular o volume e a integral de sobre o volume.

Passo 7

Em coordenadas cilíndricas, o elemento de volume é . Então, a integral do volume é:
E a integral para é:

Passo 8

Vamos calcular o volume primeiro:
Isso envolve duas integrais separadas que podem ser resolvidas usando substituições trigonométricas e álgebra.

Passo 9

Após calcular e a integral , simplesmente substituímos na fórmula de :
Essa fração nos dará a coordenada do centro de massa.

Resposta

Após realizar os cálculos, encontramos que o centro de massa está localizado em . Portanto, as coordenadas do centro de massa são .

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Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Obtenha o momento de inércia em relação ao seu eixo de simetria do sólido limitado abaixo pelo parabolóide de revolução e acima pela calota esférica da esfera . Suponha a densidade volumétrica de massa deste sólido constante e igual a 1.
Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Encontre o centróide da região sólida acima do cone e abaixo da esfera .
Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule o centro de massa do sólido de densidade de massa constante interior ao cilindro , abaixo do cone e acima do plano .
Calcule a integral onde é a região trapezoidal limitada com vértices e .