Resolva as questões a seguir. Se for conveniente, use coordenadas cilíndricas ou esféricas para facilitar os cálculos. Calcule as coordenadas do centro de massa de um sólido limitado superiormente pelo parabolóide , inferiormente pelo plano e lateralmente pelo cilindro . Suponha constante a densidade do sólido.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular as coordenadas do centro de massa de um sólido. Esse sólido está limitado acima por um parabolóide , abaixo pelo plano (o plano ) e lateralmente pelo cilindro . A densidade é constante, o que simplifica um pouco as coisas. Para resolver isso, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para problemas com simetria circular como esse.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funcionam as coordenadas cilíndricas. Nesse sistema, usamos para a distância ao eixo , para o ângulo em volta do eixo , e permanece o mesmo. A conversão entre coordenadas cartesianas e cilíndricas é:
E o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 3

Como a densidade é constante, podemos assumir que ela é igual a 1 para simplificar os cálculos (pois ela vai se cancelar depois). O centro de massa ( ) de um sólido com densidade constante pode ser calculado pelas fórmulas:
onde é o volume total do sólido.

Passo 4

Observando a simetria do sólido, vemos que ele é simétrico em relação aos eixos e . Isso significa que as coordenadas e serão zero, já que as contribuições positivas e negativas se cancelam. Portanto, precisamos apenas calcular .

Passo 5

Vamos calcular o volume do sólido. Em coordenadas cilíndricas, os limites de integração são:
Então, o volume é:
Primeiro integramos em :
Então:
Integrando em :
Então:

Passo 6

Agora vamos calcular :
Primeiro, integramos em :
Então:
Integrando em :
Então:

Resposta

As coordenadas do centro de massa do sólido são .

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