Calcule a integral integral duplaR x1+x y d A, R=[0,1] X[1,2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma contínua, sobre a função x1 + xy na região R = [0,1] times [1,2]. Isso está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais duplas. Para resolver, a gente vai precisar entender como configurar e calcular essa integral passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os limites de integração. A região R é definida por x indo de 0 a 1 e y indo de 1 a 2. Isso significa que vamos integrar x em [0,1] e y em [1,2]. A integral dupla fica assim:
integral duplaR x1 + xy , dA = integral0^1 integral1^2 x1 + xy , dy , dx

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a y. Observe que na expressão x1 + xy, o x age como uma constante em relação a y. Para integrar x1 + xy com respeito a y, fazemos uma substituição simples. Seja u = 1 + xy, então:
du = x , dy Rightarrow dy = dux
Substituindo na integral:
integral xu cdot dux = integral 1u , du = ln|u| + C = ln(1 + xy) + C

Passo 4

Agora, aplicamos os limites de y de 1 a 2:
integral1^2 x1 + xy , dy = ln(1 + x cdot 2) - ln(1 + x cdot 1) = ln(1 + 2x) - ln(1 + x)
Isso simplifica para:
ln(1 + 2x1 + x)

Passo 5

Agora, precisamos integrar isso com respeito a x de 0 a 1:
integral0^1 ln(1 + 2x1 + x) , dx
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
1 + 2x1 + x = 1 + x1 + x = 1 + x1 + x
No entanto, uma abordagem mais direta é usar propriedades de logaritmos para separar:
ln(1 + 2x) - ln(1 + x)
Então, a integral se torna:
integral0^1 ln(1 + 2x) , dx - integral0^1 ln(1 + x) , dx
Essas integrais podem ser calculadas usando integração por partes ou tabelas de integrais padrão. Após calcular ambas, subtraímos os resultados.

Resposta

Após realizar os cálculos, a integral dupla integral duplaR x1 + xy , dA sobre a região R = [0,1] times [1,2] é igual a:
ln(32)

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