Calcule a integral
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é para calcular uma integral dupla, que é tipo uma soma contínua, sobre a função
na região
. Isso está na área de cálculo multivariável, especificamente em integrais duplas. Para resolver, a gente vai precisar entender como configurar e calcular essa integral passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender os limites de integração. A região
é definida por
indo de 0 a 1 e
indo de 1 a 2. Isso significa que vamos integrar
em [0,1] e
em [1,2]. A integral dupla fica assim:
Passo 3
Vamos começar integrando em relação a
. Observe que na expressão
, o
age como uma constante em relação a
. Para integrar
com respeito a
, fazemos uma substituição simples. Seja
, então:
Substituindo na integral:
Passo 4
Agora, aplicamos os limites de
de 1 a 2:
Isso simplifica para:
Passo 5
Agora, precisamos integrar isso com respeito a
de 0 a 1:
Podemos simplificar a expressão dentro do logaritmo:
No entanto, uma abordagem mais direta é usar propriedades de logaritmos para separar:
Então, a integral se torna:
Essas integrais podem ser calculadas usando integração por partes ou tabelas de integrais padrão. Após calcular ambas, subtraímos os resultados.
Resposta
Após realizar os cálculos, a integral dupla
sobre a região
é igual a: