Resolva e equação diferencial de Bernoulli
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim:
Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais não lineares e a gente vai precisar de alguns conceitos básicos de transformação de equações diferenciais para resolvê-la.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação em uma forma mais amigável. Para isso, vamos dividir todos os termos por
para simplificar:
Simplificando o lado direito:
Passo 3
Agora, a equação está na forma:
Isso é uma equação de Bernoulli onde
. Para resolver, vamos usar uma substituição que ajuda a tornar a equação linear.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Passo 5
Substituindo
da equação original:
Mas como
, isso fica:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial linear para
:
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando fator integrante.
Passo 7
Calculamos o fator integrante
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Então,
Passo 10
Lembrando que
, substituímos de volta:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: