Resolva e equação diferencial de Bernoulli
2 t y dy/dt - y^2 = t^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de Bernoulli que é assim:
Esse tipo de equação faz parte do estudo das equações diferenciais não lineares e a gente vai precisar de alguns conceitos básicos de transformação de equações diferenciais para resolvê-la.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação em uma forma mais amigável. Para isso, vamos dividir todos os termos por para simplificar:
Simplificando o lado direito:

Passo 3

Agora, a equação está na forma:
Isso é uma equação de Bernoulli onde . Para resolver, vamos usar uma substituição que ajuda a tornar a equação linear.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Então, derivando ambos os lados em relação a :

Passo 5

Substituindo da equação original:
Mas como , isso fica:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial linear para :
Essa é uma equação linear que podemos resolver usando fator integrante.

Passo 7

Calculamos o fator integrante :

Passo 8

Multiplicamos toda a equação pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Então,

Passo 10

Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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