Determine a área dentro do círculo
e fora do círculo
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo círculos. A questão pede para determinar a área que está dentro do círculo definido por
e fora do círculo
. Para resolver isso, vamos precisar entender as equações dos círculos, encontrar seus centros e raios, identificar onde eles se intersectam e calcular a área desejada usando conceitos de geometria.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação do primeiro círculo
de forma mais clara. Podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio:
Então, o primeiro círculo tem centro em
e raio
.
O segundo círculo
já está na forma padrão, com centro em
e raio
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre os dois círculos. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo
na equação do segundo círculo:
Portanto, os círculos se intersectam nos pontos
e
.
Passo 4
Para encontrar a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo, vamos calcular a área do setor circular do primeiro círculo correspondente ao ângulo formado pelos pontos de interseção e subtrair a área do triângulo formado por esses pontos e o centro do primeiro círculo.
O ângulo central
pode ser encontrado usando a trigonometria no triângulo formado pelo centro do primeiro círculo e os pontos de interseção. Como o raio é 1 e a base do triângulo é
, temos:
Passo 5
A área do setor circular é dada por:
A área do triângulo equilátero formado pelos dois raios e a base é:
Passo 6
A área da “fatia” correspondente no primeiro círculo é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
Como há duas fatias simétricas (acima e abaixo do eixo), a área total desejada é:
Resposta
A área dentro do círculo
e fora do círculo
é igual a
unidades de área.