Determine a área dentro do círculo x^2 + y^2 = 2 x e fora do círculo x^2 + y^2 = 1.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria envolvendo círculos. A questão pede para determinar a área que está dentro do círculo definido por e fora do círculo . Para resolver isso, vamos precisar entender as equações dos círculos, encontrar seus centros e raios, identificar onde eles se intersectam e calcular a área desejada usando conceitos de geometria.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação do primeiro círculo de forma mais clara. Podemos completar o quadrado para encontrar o centro e o raio:
Então, o primeiro círculo tem centro em e raio .
O segundo círculo já está na forma padrão, com centro em e raio .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar os pontos de interseção entre os dois círculos. Para isso, igualamos as duas equações:
Substituindo na equação do segundo círculo:
Portanto, os círculos se intersectam nos pontos e .

Passo 4

Para encontrar a área que está dentro do primeiro círculo e fora do segundo, vamos calcular a área do setor circular do primeiro círculo correspondente ao ângulo formado pelos pontos de interseção e subtrair a área do triângulo formado por esses pontos e o centro do primeiro círculo.
O ângulo central pode ser encontrado usando a trigonometria no triângulo formado pelo centro do primeiro círculo e os pontos de interseção. Como o raio é 1 e a base do triângulo é , temos:

Passo 5

A área do setor circular é dada por:
A área do triângulo equilátero formado pelos dois raios e a base é:
â

Passo 6

A área da “fatia” correspondente no primeiro círculo é a diferença entre a área do setor e a área do triângulo:
â
Como há duas fatias simétricas (acima e abaixo do eixo), a área total desejada é:

Resposta

A área dentro do círculo e fora do círculo é igual a unidades de área.

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