Mostre que a EDO dada é homogênea e encontre a solução:
d y/d x=(x+3 y)/(x-y)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no exercício que você trouxe. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por:
O objetivo aqui é mostrar que essa EDO é homogênea e depois encontrar a solução dela. Para isso, vamos precisar entender o que é uma EDO homogênea e como resolver esse tipo de equação usando substituições apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a EDO é realmente homogênea. Uma EDO é chamada de homogênea se todos os termos da equação tiverem o mesmo grau. Isso significa que, se multiplicarmos e por um fator , a equação inteira será multiplicada pelo mesmo fator , onde é o grau da função.
No nosso caso, temos a fração . Vamos analisar o grau de cada termo:
  • No numerador: tem grau 1 e também tem grau 1.
  • No denominador: tem grau 1 e tem grau 1.
Como todos os termos no numerador e no denominador têm o mesmo grau, a função é homogênea de grau 0 (já que é uma razão de termos do mesmo grau). Portanto, a EDO é homogênea.

Passo 3

Agora que sabemos que a EDO é homogênea, podemos resolver usando a substituição . Essa substituição é útil porque transforma a EDO em uma equação que podemos resolver usando métodos de separação de variáveis.
Vamos definir . Então, podemos escrever .

Passo 4

Precisamos encontrar a derivada de em relação a . Como , usando a regra do produto, temos:
Agora, vamos substituir e na EDO original.

Passo 5

Substituindo na EDO:
Simplificando o numerador e o denominador:

Passo 6

Agora, vamos isolar :
Subtraindo de ambos os lados:

Passo 7

Agora, vamos separar as variáveis para integrar:
Simplificando o denominador no lado esquerdo:
Então, a equação fica:

Passo 8

Vamos simplificar a fração do lado esquerdo:
Podemos escrever:
Isso facilita a integração.

Passo 9

Agora, vamos integrar ambos os lados:
Para a integral à esquerda, fazemos a substituição , então :
Simplificando:
Integrando:
Substituindo :

Passo 10

Lembrando que , vamos substituir de volta:
Simplificando:
Cancelando de ambos os lados:
Multiplicando por -1:
Podemos redefinir como uma nova constante :

Resposta

A solução geral da EDO é:
onde é uma constante de integração.

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