Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a superfície é dada pelas funções paramétricas:
com e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de superfície em uma integral dupla em termos das variáveis e . Isso envolve calcular o elemento de área e substituir as funções paramétricas na expressão integranda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Isso é importante para calcular o vetor normal à superfície, que nos ajuda a determinar .
As derivadas são:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais, que nos dará um vetor normal à superfície:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a magnitude desse vetor normal, que será usada para calcular o elemento de área :
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos substituir as funções paramétricas na expressão integranda :
Substituindo:
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Como e , nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em primeiro:
A integral de é:
Avaliada de 0 a 5:
Então, a integral interna fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição: