Calcule I=integral duplaS(z-x^2+x y^2-1) d S onde S é a superficie
x(u, v)=u, y(u, v)=v, z(u, v)=u^2+1,0 <= u <= 2,0 <= v <= 5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla x(u, v) = u, y(u, v) = v, z(u, v) = u^2 + 1 , onde a superfície é dada pelas funções paramétricas:
com e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de superfície em uma integral dupla em termos das variáveis e . Isso envolve calcular o elemento de área e substituir as funções paramétricas na expressão integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a partial rpartial u = ( partial xpartial u, partial ypartial u, partial zpartial u ) = (1, 0, 2u) e partial rpartial v = ( partial xpartial v, partial ypartial v, partial zpartial v ) = (0, 1, 0) . Isso é importante para calcular o vetor normal à superfície, que nos ajuda a determinar .
As derivadas são:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais, que nos dará um vetor normal à superfície:
partial rpartial u times partial rpartial v = i & j & k 1 & 0 & 2u 0 & 1 & 0 = (-2u, 0, 1)

Passo 4

O próximo passo é encontrar a magnitude desse vetor normal, que será usada para calcular o elemento de área | partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz(-2u)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4u^2 + 1 :
dS = raiz4u^2 + 1 , du , dv
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos substituir as funções paramétricas na expressão integranda z = u^2 + 1, x = u, y = v :
z - x^2 + x y^2 - 1 = (u^2 + 1) - u^2 + u v^2 - 1 = u v^2
Substituindo:
I = integral duplaS u v^2 cdot raiz4u^2 + 1 , du , dv
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração. Como I = integral0^2 integral0^5 u v^2 raiz4u^2 + 1 , dv , du e , nossa integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em integral0^5 u v^2 raiz4u^2 + 1 , dv = u raiz4u^2 + 1 integral0^5 v^2 , dv primeiro:
integral v^2 , dv = v^33
A integral de 5^33 - 0^33 = 1253 é:
u raiz4u^2 + 1 cdot 1253 = 1253 u raiz4u^2 + 1
Avaliada de 0 a 5:
Então, a integral interna fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a I = 1253 integral0^2 u raiz4u^2 + 1 , du :
I = 1253 cdot 18 integral1^17 raizt , dt = 12524 integral1^17 t^1/2 , dt
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe integral t^1/2 , dt = 23 t^3/2 , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Substituindo:
A integral de é:

Passo 9

Avaliando de 1 a 17:
23 (17)^3/2 - 23 (1)^3/2 = 23 (17raiz17) - 23 (1) = 23 (17raiz17 - 1)
Então, a integral fica:
I = 12524 cdot 23 (17raiz17 - 1) = 25072 (17raiz17 - 1) = 12536 (17raiz17 - 1)

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados