Calcule onde é a superficie

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a superfície é dada pelas funções paramétricas:
com e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de superfície em uma integral dupla em termos das variáveis e . Isso envolve calcular o elemento de área e substituir as funções paramétricas na expressão integranda.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Isso é importante para calcular o vetor normal à superfície, que nos ajuda a determinar .
As derivadas são:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais, que nos dará um vetor normal à superfície:

Passo 4

O próximo passo é encontrar a magnitude desse vetor normal, que será usada para calcular o elemento de área :
Portanto,

Passo 5

Agora, vamos substituir as funções paramétricas na expressão integranda :
Substituindo:
Então, a integral fica:

Passo 6

Agora, vamos definir os limites de integração. Como e , nossa integral dupla fica:

Passo 7

Vamos resolver a integral interna em primeiro:
A integral de é:
Avaliada de 0 a 5:
Então, a integral interna fica:

Passo 8

Agora, vamos integrar em relação a :
Para resolver essa integral, fazemos uma substituição:
Deixe , então , ou seja, .
Quando , ; quando , .
Substituindo:
A integral de é:

Passo 9

Avaliando de 1 a 17:
Então, a integral fica:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde e , onde . Calcule , onde .
Calcule as seguintes integrais:
, onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Resolva a equação
sujeita a e e dados:
a) e
b) e .