Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de uma integral de superfície. A gente precisa calcular a integral dupla , onde a superfície é dada pelas funções paramétricas:
com e .
Para resolver isso, vamos precisar entender como transformar essa integral de superfície em uma integral dupla em termos das variáveis e . Isso envolve calcular o elemento de área e substituir as funções paramétricas na expressão integranda.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais da parametrização em relação a e . Isso é importante para calcular o vetor normal à superfície, que nos ajuda a determinar .
As derivadas são:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial dessas derivadas parciais, que nos dará um vetor normal à superfície:
Passo 4
O próximo passo é encontrar a magnitude desse vetor normal, que será usada para calcular o elemento de área | partial rpartial u times partial rpartial v | = raiz(-2u)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz4u^2 + 1 :
dS = raiz4u^2 + 1 , du , dv
Portanto,
Passo 5
Agora, vamos substituir as funções paramétricas na expressão integranda z = u^2 + 1, x = u, y = v :
z - x^2 + x y^2 - 1 = (u^2 + 1) - u^2 + u v^2 - 1 = u v^2
Substituindo:
I = integral duplaS u v^2 cdot raiz4u^2 + 1 , du , dv
Então, a integral fica:
Passo 6
Agora, vamos definir os limites de integração. Como I = integral0^2 integral0^5 u v^2 raiz4u^2 + 1 , dv , du e , nossa integral dupla fica:
Passo 7
Vamos resolver a integral interna em integral0^5 u v^2 raiz4u^2 + 1 , dv = u raiz4u^2 + 1 integral0^5 v^2 , dv primeiro:
integral v^2 , dv = v^33
A integral de 5^33 - 0^33 = 1253 é:
u raiz4u^2 + 1 cdot 1253 = 1253 u raiz4u^2 + 1
Avaliada de 0 a 5:
Então, a integral interna fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar em relação a I = 1253 integral0^2 u raiz4u^2 + 1 , du :