Calcule as seguintes integrais:
ointgamma(x y-y^33) d x+(x+x^33+y) d y, onde gamma é a fronteira da região Omega entre as circunferências x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4, orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos uma integral de linha ao longo da fronteira da região , que está entre duas circunferências: uma de raio 1 ( ) e outra de raio 2 ( ). A orientação é positiva, ou seja, sentido anti-horário para a circunferência maior e horário para a menor.
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Esse teorema é perfeito para resolver integrais de campos vetoriais como essa que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes P(x, y) = x y - y^33 e Q(x, y) = x + x^33 + y da nossa integral de linha:

Passo 3

De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região ointgamma P , dx + Q , dy = integral duplaOmega ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = partialpartial x ( x + x^33 + y ) = 1 + x^2
partial Ppartial y = partialpartial y ( x y - y^33 ) = x - y^2

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
integral duplaOmega ( (1 + x^2) - (x - y^2) ) dA = integral duplaOmega (1 + x^2 - x + y^2) dA
Simplificando:
integral duplaOmega (1 - x + x^2 + y^2) dA

Passo 6

Agora, vamos converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região x = r cos theta é um anel entre duas circunferências. Em coordenadas polares:
y = r sin theta
dA = r , dr , dtheta
Os limites de integração para vão de 1 a 2, e para de 0 a .

Passo 7

Substituindo na integral:
integral0^2pi integral1^2 (1 - r cos theta + r^2 cos^2 theta + r^2 sin^2 theta ) r , dr , dtheta
Simplificando os termos:
r (1) - r^2 cos theta + r^3 (cos^2 theta + sin^2 theta)
Sabemos que integral0^2pi integral1^2 ( r - r^2 cos theta + r^3 ) dr , dtheta , então:

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a integral1^2 (r + r^3 - r^2 cos theta) dr = [ r^22 + r^44 - r^33 cos theta ]1^2 :
42 + 164 - 83 cos theta = 2 + 4 - 83 cos theta = 6 - 83 cos theta
Calculando nos limites:
Para 12 + 14 - 13 cos theta = 36 + 1.56 - 26 cos theta = 54 - 13 cos theta :
(6 - 83 cos theta) - (54 - 13 cos theta) = 244 - 54 - 83 cos theta + 13 cos theta = 194 - 73 cos theta
Para :
Diferença:

Passo 9

Agora, integramos em relação a integral0^2pi ( 194 - 73 cos theta ) dtheta = 194 cdot 2pi - 73 integral0^2pi cos theta , dtheta :
194 cdot 2pi = 192 pi
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

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