Calcule as seguintes integrais:
, onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos uma integral de linha ao longo da fronteira da região , que está entre duas circunferências: uma de raio 1 ( ) e outra de raio 2 ( ). A orientação é positiva, ou seja, sentido anti-horário para a circunferência maior e horário para a menor.
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Esse teorema é perfeito para resolver integrais de campos vetoriais como essa que temos aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as componentes e da nossa integral de linha:

Passo 3

De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região :

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:

Passo 5

Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:

Passo 6

Agora, vamos converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região é um anel entre duas circunferências. Em coordenadas polares:
Os limites de integração para vão de 1 a 2, e para de 0 a .

Passo 7

Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Sabemos que , então:

Passo 8

Vamos agora integrar em relação a :
Calculando nos limites:
Para :
Para :
Diferença:

Passo 9

Agora, integramos em relação a :
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
, onde é a circunferência .
Calcule as seguintes integrais usando a definição e depois o Teorema de Green:
, onde é a circunferência .
Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde e , onde . Calcule , onde .
Calcule onde é a superficie