Calcule as seguintes integrais:
, onde
é a fronteira da região
entre as circunferências
e
, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos uma integral de linha ao longo da fronteira
da região
, que está entre duas circunferências: uma de raio 1 (
) e outra de raio 2 (
). A orientação é positiva, ou seja, sentido anti-horário para a circunferência maior e horário para a menor.
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Esse teorema é perfeito para resolver integrais de campos vetoriais como essa que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes
e
da nossa integral de linha:
Passo 3
De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região
:
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região
é um anel entre duas circunferências. Em coordenadas polares:
Os limites de integração para
vão de 1 a 2, e para
de 0 a
.
Passo 7
Substituindo na integral:
Simplificando os termos:
Sabemos que
, então:
Passo 8
Vamos agora integrar em relação a
:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Diferença:
Passo 9
Agora, integramos em relação a
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral vale
.