Calcule as seguintes integrais: , onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de linha juntos! Primeiro, vamos resumir o que o problema pede. Temos uma integral de linha ao longo da fronteira da região , que está entre duas circunferências: uma de raio 1 () e outra de raio 2 (). A orientação é positiva, ou seja, sentido anti-horário para a circunferência maior e horário para a menor.
Vamos precisar usar o Teorema de Green, que relaciona integrais de linha com integrais duplas sobre a região limitada pela curva. Esse teorema é perfeito para resolver integrais de campos vetoriais como essa que temos aqui.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as componentes e da nossa integral de linha:
Passo 3
De acordo com o Teorema de Green, a integral de linha pode ser convertida em uma integral dupla sobre a região :
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Passo 5
Substituindo essas derivadas na fórmula do Teorema de Green:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos converter essa integral dupla para coordenadas polares, já que a região é um anel entre duas circunferências. Em coordenadas polares:
Os limites de integração para vão de 1 a 2, e para de 0 a .