Seja F=P d x+Q d y um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto U=R^2 backslash(-2,0),(2,0), tal que partial Ppartial y=partial Qpartial x. Suponha que ointgamma F cdot d gamma=6, onde gamma:(x+2)^2+y^2=1 e ointeta F cdot d eta=9, onde eta:(x-2)^2+y^2=1. Calcule ointxi F cdot d gamma, onde xi: x^2+y^2=16.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Temos que:
  • Enunciado resumido: Temos um campo vetorial definido no plano, menos nos pontos e . Sabemos que , o que significa que o campo é conservativo em regiões onde não tem singularidades. Também nos dão as integrais de linha ao redor de duas curvas pequenas e que cercam esses pontos singulares, e queremos calcular a integral de linha ao redor de uma curva maior que envolve ambas as pequenas curvas.
  • Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green e conceitos de campos conservativos e singularidades.
  • O que vamos precisar:
    • Teorema de Green
    • Propriedades de campos conservativos
    • Conceito de singularidades em campos vetoriais

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que ointxi F cdot dgamma = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dx , dy é importante. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser relacionada à integral dupla sobre a região delimitada por :
Mas no nosso caso, , então a integral dupla seria zero se a região for simplesmente conexa (ou seja, sem buracos ou singularidades).

Passo 3

No entanto, a região não é simplesmente conexa porque tem dois pontos removidos onde podem haver singularidades do campo . Isso significa que, se a curva envolver essas singularidades, a integral de linha ao redor de não será zero, mas sim a soma das contribuições dessas singularidades.

Passo 4

Sabemos que:
ointgamma F cdot dgamma = 6 (ao redor de ((-2,0)))
ointeta F cdot deta = 9 (ao redor de ((2,0)))
A curva é um círculo com raio 4, centrado na origem. Esse círculo engloba ambos os pontos e , já que e .

Passo 5

Pelo Princípio da Linearity das Integrais de Linha, a integral de linha ao redor de ointxi F cdot dxi = ointgamma F cdot dgamma + ointeta F cdot deta é a soma das integrais ao redor de e , já que engloba ambas as curvas pequenas e não há outras singularidades dentro de .

Resposta

Somando as integrais conhecidas:
ointxi F cdot dxi = 6 + 9 = 15
Portanto, .

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