Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde e , onde . Calcule , onde .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Temos que:
  • Enunciado resumido: Temos um campo vetorial definido no plano, menos nos pontos e . Sabemos que , o que significa que o campo é conservativo em regiões onde não tem singularidades. Também nos dão as integrais de linha ao redor de duas curvas pequenas e que cercam esses pontos singulares, e queremos calcular a integral de linha ao redor de uma curva maior que envolve ambas as pequenas curvas.
  • Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green e conceitos de campos conservativos e singularidades.
  • O que vamos precisar:
    • Teorema de Green
    • Propriedades de campos conservativos
    • Conceito de singularidades em campos vetoriais

Passo 2

Primeiro, vamos entender por que é importante. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser relacionada à integral dupla sobre a região delimitada por :
Mas no nosso caso, , então a integral dupla seria zero se a região for simplesmente conexa (ou seja, sem buracos ou singularidades).

Passo 3

No entanto, a região não é simplesmente conexa porque tem dois pontos removidos onde podem haver singularidades do campo . Isso significa que, se a curva envolver essas singularidades, a integral de linha ao redor de não será zero, mas sim a soma das contribuições dessas singularidades.

Passo 4

Sabemos que:
A curva é um círculo com raio 4, centrado na origem. Esse círculo engloba ambos os pontos e , já que e .

Passo 5

Pelo Princípio da Linearity das Integrais de Linha, a integral de linha ao redor de é a soma das integrais ao redor de e , já que engloba ambas as curvas pequenas e não há outras singularidades dentro de .

Resposta

Somando as integrais conhecidas:
Portanto, .

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes integrais:
, onde é a fronteira da região entre as circunferências e , orientada positivamente.
Calcule as seguintes integrais:
, onde é a circunferência .
Calcule onde é a superficie
Resolva a equação
sujeita a e e dados:
a) e
b) e .