Seja um campo vetorial diferenciável definido no subconjunto aberto , tal que . Suponha que , onde e , onde . Calcule , onde .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva . Temos que:
Enunciado resumido: Temos um campo vetorial definido no plano, menos nos pontos e . Sabemos que , o que significa que o campo é conservativo em regiões onde não tem singularidades. Também nos dão as integrais de linha ao redor de duas curvas pequenas e que cercam esses pontos singulares, e queremos calcular a integral de linha ao redor de uma curva maior que envolve ambas as pequenas curvas.
Conteúdo da matéria: Vamos usar o Teorema de Green e conceitos de campos conservativos e singularidades.
O que vamos precisar:
Teorema de Green
Propriedades de campos conservativos
Conceito de singularidades em campos vetoriais
Passo 2
Primeiro, vamos entender por que é importante. Segundo o Teorema de Green, a integral de linha ao redor de uma curva fechada pode ser relacionada à integral dupla sobre a região delimitada por :
Mas no nosso caso, , então a integral dupla seria zero se a região for simplesmente conexa (ou seja, sem buracos ou singularidades).
Passo 3
No entanto, a região não é simplesmente conexa porque tem dois pontos removidos onde podem haver singularidades do campo . Isso significa que, se a curva envolver essas singularidades, a integral de linha ao redor de não será zero, mas sim a soma das contribuições dessas singularidades.
Passo 4
Sabemos que:
A curva é um círculo com raio 4, centrado na origem. Esse círculo engloba ambos os pontos e , já que e .
Passo 5
Pelo Princípio da Linearity das Integrais de Linha, a integral de linha ao redor de é a soma das integrais ao redor de e , já que engloba ambas as curvas pequenas e não há outras singularidades dentro de .