A gente também tem a condição inicial e dois casos com valores específicos para , , e . Para resolver essa equação, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais e integrais em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
A transformada de é
A transformada da integral é
A transformada de vai depender da função dada para
Como , a equação transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para resolver . Factorando :
Então:
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por :
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de para cada caso.
a) Para
A Transformada de é . Então:
Substituindo na equação de :
b) Para
Vamos dividir em duas partes:
cuja transformada é
cuja transformada é
Então:
Substituindo na equação de :
Passo 5
Finalmente, para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em para cada caso. Isso geralmente envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.
a) Resolvendo para o caso a)
Com h, , e F, a equação no domínio de Laplace fica:
Podemos simplificar o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, identificar as raízes do denominador e usar a tabela de transformadas para funções do tipo .
b) Resolvendo para o caso b)
Com h, , e F, a equação no domínio de Laplace fica:
Simplificando o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, novamente identificar as raízes do denominador e usar métodos de frações parciais e tabelas de transformadas.
Resposta
A solução completa para os casos a) e b) envolve aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, resolver para e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . As expressões finais de serão obtidas após a decomposição em frações parciais e utilização de tabelas de transformadas, levando em conta os valores específicos de , , e para cada caso.