Resolva a equação
sujeita a
e
e
dados:
a)
e
b)
e
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação envolvendo componentes elétricos: um indutor (L), um resistor ® e um capacitor ©. A equação é:
A gente também tem a condição inicial
e dois casos com valores específicos para
,
,
e
. Para resolver essa equação, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais e integrais em formas mais fáceis de resolver.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
- A transformada de
é - A transformada da integral
é - A transformada de
vai depender da função dada para
Como
, a equação transformada fica:
Passo 3
Agora, vamos rearranjar a equação para resolver
. Factorando
:
Então:
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por
:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de
para cada caso.
a) Para
A Transformada de
é
. Então:
Substituindo na equação de
:
b) Para
Vamos dividir
em duas partes:
-
cuja transformada é -
cuja transformada é
Então:
Substituindo na equação de
:
Passo 5
Finalmente, para encontrar
, precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em
para cada caso. Isso geralmente envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.
a) Resolvendo para o caso a)
Com
h,
, e
F, a equação no domínio de Laplace fica:
Podemos simplificar o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, identificar as raízes do denominador e usar a tabela de transformadas para funções do tipo
.
b) Resolvendo para o caso b)
Com
h,
, e
F, a equação no domínio de Laplace fica:
Simplificando o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, novamente identificar as raízes do denominador e usar métodos de frações parciais e tabelas de transformadas.
Resposta
A solução completa para os casos a) e b) envolve aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, resolver para
e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar
. As expressões finais de
serão obtidas após a decomposição em frações parciais e utilização de tabelas de transformadas, levando em conta os valores específicos de
,
,
e
para cada caso.