Resolva a equação
sujeita a e e dados:
a) e
b) e .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui. A gente tem uma equação envolvendo componentes elétricos: um indutor (L), um resistor ® e um capacitor ©. A equação é:
A gente também tem a condição inicial e dois casos com valores específicos para , , e . Para resolver essa equação, vamos precisar usar a Transformada de Laplace, que ajuda a transformar equações diferenciais e integrais em formas mais fáceis de resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que:
  • A transformada de é
  • A transformada da integral é
  • A transformada de vai depender da função dada para
Como , a equação transformada fica:

Passo 3

Agora, vamos rearranjar a equação para resolver . Factorando :
Então:
Para simplificar, vamos multiplicar numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a Transformada de Laplace de para cada caso.

a) Para

A Transformada de é . Então:
Substituindo na equação de :

b) Para

Vamos dividir em duas partes:
  1. cuja transformada é
  2. cuja transformada é
Então:
Substituindo na equação de :

Passo 5

Finalmente, para encontrar , precisamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace em para cada caso. Isso geralmente envolve decompor em frações parciais e usar tabelas de transformadas conhecidas.

a) Resolvendo para o caso a)

Com h, , e F, a equação no domínio de Laplace fica:
Podemos simplificar o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, identificar as raízes do denominador e usar a tabela de transformadas para funções do tipo .

b) Resolvendo para o caso b)

Com h, , e F, a equação no domínio de Laplace fica:
Simplificando o denominador:
Então:
Para realizar a transformada inversa, novamente identificar as raízes do denominador e usar métodos de frações parciais e tabelas de transformadas.

Resposta

A solução completa para os casos a) e b) envolve aplicar a Transformada de Laplace na equação diferencial, resolver para e depois aplicar a Transformada Inversa de Laplace para encontrar . As expressões finais de serão obtidas após a decomposição em frações parciais e utilização de tabelas de transformadas, levando em conta os valores específicos de , , e para cada caso.

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