Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para e o sólido limitado pelas superfícies e .

Passo 1

Beleza, vamos verificar o Teorema de Gauss para o campo vetorial e o sólido delimitado pelas superfícies e . O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada de um sólido com a integral da divergência desse campo sobre o volume do sólido. Para isso, vamos precisar calcular duas integrais: a integral de superfície (fluxo) e a integral de volume (divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o sólido . A integral fica:
Isso significa que estamos calculando o volume do sólido . Para achar os limites de integração, observamos que varia de até , e a base no plano é o círculo .
Usando coordenadas cilíndricas:
Integrando em :
Então:
Calculando a integral em :
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . A superfície é composta por duas partes: a parte superior onde e a parte inferior onde .
Para , vamos calcular a integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície. Usando a parametrização cilíndrica:
O vetor normal pode ser obtido a partir do gradiente:
Então, o fluxo por :
Integrando:
Para , onde , o campo . O vetor normal aponta para baixo, então . Assim:
(O raio é 1, então a área é .)

Passo 5

Finalmente, somamos os fluxos das duas partes da superfície:

Resposta

Ambas as integrais resultam em , confirmando o Teorema de Gauss para o campo dado e o sólido .

Exercícios relacionados

Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para e o sólido limitado pelas superfícies e .
Calcule , onde
e é a parte da esfera , no primeiro octante e apontando para a origem.
Seja . Seja a superfície da esfera com centro e raio 5 . Ache o fluxo de , de dentro para fora de .
Utilizando o teorema de Stokes, transforme em uma integral de linha e calcule: , sendo tal que .