Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para F(x, y, z) = (z + 1) k e o sólido W limitado pelas superfícies z = 1 - x^2 - y^2 e z = 0.

Passo 1

Beleza, vamos verificar o Teorema de Gauss para o campo vetorial e o sólido W delimitado pelas superfícies e . O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada de um sólido com a integral da divergência desse campo sobre o volume do sólido. Para isso, vamos precisar calcular duas integrais: a integral de superfície (fluxo) e a integral de volume (divergência).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial F. A divergência é dada por:
No nosso caso, , então:

Passo 3

Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o sólido W. A integral fica:
Isso significa que estamos calculando o volume do sólido W. Para achar os limites de integração, observamos que z varia de 0 até , e a base no plano z = 0 é o círculo .
Usando coordenadas cilíndricas:
Integrando em z:
Então:
Calculando a integral em r:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial F através da superfície . A superfície é composta por duas partes: a parte superior onde e a parte inferior onde .
Para , vamos calcular a integral de superfície:
onde n é o vetor normal à superfície. Usando a parametrização cilíndrica:
O vetor normal pode ser obtido a partir do gradiente:
Então, o fluxo por :
Integrando:
Para , onde z = 0, o campo . O vetor normal aponta para baixo, então . Assim:
(O raio é 1, então a área é pi.)

Passo 5

Finalmente, somamos os fluxos das duas partes da superfície:

Resposta

Ambas as integrais resultam em pi / 2, confirmando o Teorema de Gauss para o campo dado e o sólido W.

Exercícios relacionados