Verifique o Teorema de Gauss, calculando as duas integrais do enunciado para e o sólido limitado pelas superfícies e .
Passo 1
Beleza, vamos verificar o Teorema de Gauss para o campo vetorial e o sólido delimitado pelas superfícies e . O Teorema de Gauss relaciona o fluxo de um campo vetorial através da superfície fechada de um sólido com a integral da divergência desse campo sobre o volume do sólido. Para isso, vamos precisar calcular duas integrais: a integral de superfície (fluxo) e a integral de volume (divergência).
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência é dada por:
No nosso caso, , então:
Passo 3
Agora, vamos calcular a integral de volume da divergência sobre o sólido . A integral fica:
Isso significa que estamos calculando o volume do sólido . Para achar os limites de integração, observamos que varia de até , e a base no plano é o círculo .
Usando coordenadas cilíndricas:
Integrando em :
Então:
Calculando a integral em :
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície . A superfície é composta por duas partes: a parte superior onde e a parte inferior onde .
Para , vamos calcular a integral de superfície:
onde é o vetor normal à superfície. Usando a parametrização cilíndrica:
O vetor normal pode ser obtido a partir do gradiente:
Então, o fluxo por :
Integrando:
Para , onde , o campo . O vetor normal aponta para baixo, então . Assim:
(O raio é 1, então a área é .)
Passo 5
Finalmente, somamos os fluxos das duas partes da superfície:
Resposta
Ambas as integrais resultam em , confirmando o Teorema de Gauss para o campo dado e o sólido .