Calcule , onde é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano .

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo vetorial. Precisamos entender como parametrizar superfícies cilíndricas e como determinar os limites de integração entre os planos dados.
O que vamos precisar:
  • Parametrização de cilindros.
  • Expressão da área diferencial para superfícies cilíndricas.
  • Determinação dos limites de integração a partir dos planos que delimitam a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro . Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de . O cilindro está entre o plano e o plano . Vamos expressar em função de a partir do segundo plano:
Substituindo :
Então, para cada , varia de até .

Passo 4

Vamos expressar a integral de superfície usando as parametrizações:
Aqui, (raio do cilindro), e a área diferencial para coordenadas cilíndricas é .
Substituindo :

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
Substituindo de volta na integral principal:

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
  1. Segunda integral:
Usamos a substituição , :
  1. Terceira integral:
Usamos a identidade :
A primeira parte é e a segunda parte também é , portanto, toda a terceira integral é .

Passo 8

Somando todas as partes:

Resposta

O valor da integral de superfície é .

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