Calcule , onde é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície , onde é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano .
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo vetorial. Precisamos entender como parametrizar superfícies cilíndricas e como determinar os limites de integração entre os planos dados.
O que vamos precisar:
Parametrização de cilindros.
Expressão da área diferencial para superfícies cilíndricas.
Determinação dos limites de integração a partir dos planos que delimitam a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro . Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui, varia de a para cobrir toda a circunferência do cilindro.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de . O cilindro está entre o plano e o plano . Vamos expressar em função de a partir do segundo plano:
Substituindo :
Então, para cada , varia de até .
Passo 4
Vamos expressar a integral de superfície usando as parametrizações:
Aqui, (raio do cilindro), e a área diferencial para coordenadas cilíndricas é .
Substituindo :
Passo 5
Vamos calcular a integral interna:
Substituindo de volta na integral principal:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver cada parte separadamente.
Primeira integral:
Segunda integral:
Usamos a substituição , :
Terceira integral:
Usamos a identidade :
A primeira parte é e a segunda parte também é , portanto, toda a terceira integral é .