Calcule
, onde
é a parte do cilindro
que está entre o plano
e o plano
.
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície
, onde
é a parte do cilindro
que está entre o plano
e o plano
.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo vetorial. Precisamos entender como parametrizar superfícies cilíndricas e como determinar os limites de integração entre os planos dados.
O que vamos precisar:
- Parametrização de cilindros.
- Expressão da área diferencial
para superfícies cilíndricas. - Determinação dos limites de integração a partir dos planos que delimitam a superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro
. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde:
Aqui,
varia de
a
para cobrir toda a circunferência do cilindro.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de
. O cilindro está entre o plano
e o plano
. Vamos expressar
em função de
a partir do segundo plano:
Substituindo
:
Então, para cada
,
varia de
até
.
Passo 4
Vamos expressar a integral de superfície usando as parametrizações:
Aqui,
(raio do cilindro), e a área diferencial para coordenadas cilíndricas é
.
Substituindo
:
Passo 5
Vamos calcular a integral interna:
Substituindo de volta na integral principal:
Passo 6
Vamos expandir a expressão dentro da integral:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos resolver cada parte separadamente.
- Primeira integral:
- Segunda integral:
Usamos a substituição
,
:
- Terceira integral:
Usamos a identidade
:
A primeira parte é
e a segunda parte também é
, portanto, toda a terceira integral é
.
Passo 8
Somando todas as partes:
Resposta
O valor da integral de superfície é
.