Calcule integral duplaS x z d S, onde S é a parte do cilindro x^2+y^2=1 que está entre o plano z=0 e o plano y+z=2.

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de superfície integral duplaS x z , dS, onde S é a parte do cilindro x^2+y^2=1 que está entre o plano z=0 e o plano y + z = 2.
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com integrais de superfície, que fazem parte do cálculo vetorial. Precisamos entender como parametrizar superfícies cilíndricas e como determinar os limites de integração entre os planos dados.
O que vamos precisar:
  • Parametrização de cilindros.
  • Expressão da área diferencial dS para superfícies cilíndricas.
  • Determinação dos limites de integração a partir dos planos que delimitam a superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a superfície do cilindro x^2 + y^2 = 1. Para isso, usamos coordenadas cilíndricas, onde:
x = cos theta
y = sin theta
z = z
Aqui, theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência do cilindro.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de z. O cilindro está entre o plano z = 0 e o plano y + z = 2. Vamos expressar z em função de y a partir do segundo plano:
y + z = 2 implies z = 2 - y
Substituindo y = sin theta:
z = 2 - sin theta
Então, para cada theta, z varia de 0 até 2 - sin theta.

Passo 4

Vamos expressar a integral de superfície usando as parametrizações:
integral duplaS x z , dS = integral0^2pi integral0^2 - sin theta x z cdot r , dz , dtheta
Aqui, r = 1 (raio do cilindro), e a área diferencial para coordenadas cilíndricas é dS = r , dz , dtheta.
Substituindo x = cos theta:
integral duplaS x z , dS = integral0^2pi integral0^2 - sin theta cos theta cdot z cdot 1 , dz , dtheta = integral0^2pi cos theta ( integral0^2 - sin theta z , dz ) dtheta

Passo 5

Vamos calcular a integral interna:
integral0^2 - sin theta z , dz = [ z^22 ]0^2 - sin theta = (2 - sin theta)^22
Substituindo de volta na integral principal:
integral duplaS x z , dS = integral0^2pi cos theta cdot (2 - sin theta)^22 , dtheta = 12 integral0^2pi cos theta (4 - 4 sin theta + sin^2 theta) , dtheta

Passo 6

Vamos expandir a expressão dentro da integral:
cos theta (4 - 4 sin theta + sin^2 theta) = 4 cos theta - 4 cos theta sin theta + cos theta sin^2 theta
Então, a integral fica:
12 ( integral0^2pi 4 cos theta , dtheta - 4 integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta + integral0^2pi cos theta sin^2 theta , dtheta )

Passo 7

Vamos resolver cada parte separadamente.
  1. Primeira integral:
integral0^2pi 4 cos theta , dtheta = 4 [ sin theta ]0^2pi = 4 (0 - 0) = 0
  1. Segunda integral:
Usamos a substituição u = sin theta, du = cos theta dtheta:
integral0^2pi cos theta sin theta , dtheta = 12 integral0^2pi sin 2theta , dtheta = 0
  1. Terceira integral:
Usamos a identidade sin^2 theta = 1 - cos 2theta2:
integral0^2pi cos theta sin^2 theta , dtheta = 12 integral0^2pi cos theta (1 - cos 2theta) , dtheta = 12 ( integral0^2pi cos theta , dtheta - integral0^2pi cos theta cos 2theta , dtheta )
A primeira parte é 0 e a segunda parte também é 0, portanto, toda a terceira integral é 0.

Passo 8

Somando todas as partes:
12 (0 - 0 + 0) = 0

Resposta

O valor da integral de superfície é 0.

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