Calcule , onde e é qualquer curva lisa ligando o ponto ao ponto , nesta ordem.
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema: precisamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é qualquer caminho suave que liga o ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais no cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de satisfazem a condição de igualdade cruzada, ou seja, se , onde .
Passo 3
Identificando os componentes de , temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Como , o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Com isso, a integral ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença dos valores da função potencial nesses pontos.
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial . Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .
Passo 6
Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.
Passo 7
A função potencial é então:
Agora, aplicamos o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:
Resposta
Calculando os valores da função potencial nos pontos finais: