Calcule , onde e é qualquer curva lisa ligando o ponto ao ponto , nesta ordem.

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema: precisamos calcular a integral de linha , onde o campo vetorial . A curva é qualquer caminho suave que liga o ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial tal que . Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de satisfazem a condição de igualdade cruzada, ou seja, se , onde .

Passo 3

Identificando os componentes de , temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:

Passo 4

Como , o campo é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial tal que . Com isso, a integral ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença dos valores da função potencial nesses pontos.

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial . Integramos em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 6

Agora, derivamos em relação a e igualamos a para encontrar :
Isso implica que , ou seja, é constante. Podemos considerar sem perda de generalidade.

Passo 7

A função potencial é então:
Agora, aplicamos o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:

Resposta

Calculando os valores da função potencial nos pontos finais:
Portanto, a integral é:

Exercícios relacionados

método de Cholesky e a resolução do seguinte problema:
Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o retangulo delimitado pelas retas
Calcule , onde é a parte do cilindro que está entre o plano e o plano .
Calcule , onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto .