Calcule
, onde
e
é qualquer curva lisa ligando o ponto
ao ponto
, nesta ordem.
Passo 1
Vamos começar resumindo o problema: precisamos calcular a integral de linha
, onde o campo vetorial . A curva
é qualquer caminho suave que liga o ponto
ao ponto
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais no cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial
tal que
. Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de
satisfazem a condição de igualdade cruzada, ou seja, se
, onde
.
Passo 3
Identificando os componentes de
, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Como
, o campo
é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial
tal que
. Com isso, a integral ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença dos valores da função potencial nesses pontos.
Passo 5
Vamos encontrar a função potencial
. Integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 6
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso implica que
, ou seja,
é constante. Podemos considerar
sem perda de generalidade.
Passo 7
A função potencial é então:
Agora, aplicamos o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:
Resposta
Calculando os valores da função potencial nos pontos finais:
Portanto, a integral é: