Calcule integralC F cdot d r, onde F(x, y)=(y e^x+sen(y)+2 x, e^x+x cos (y)) e C é qualquer curva lisa ligando o ponto (0, pi) ao ponto (1,0), nesta ordem.

Passo 1

Vamos começar resumindo o problema: precisamos calcular a integral de linha integralC F cdot d r, onde o campo vetorial . A curva F(x, y)=(y e^x+sen(y)+2 x, e^x+x cos (y)) é qualquer caminho suave que liga o ponto C ao ponto (0, pi). Para resolver isso, vamos usar conceitos de campos conservativos e funções potenciais no cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Para isso, precisamos checar se as derivadas parciais de F satisfazem a condição de igualdade cruzada, ou seja, se partial Ppartial y = partial Qpartial x, onde F = (P, Q).

Passo 3

Identificando os componentes de F, temos:
  • P = y e^x + sen(y) + 2x
Vamos calcular as derivadas parciais:
  • Q = e^x + x cos(y)
  • partial Ppartial y = e^x + cos(y)

Passo 4

Como partial Ppartial y = partial Qpartial x, o campo F é conservativo. Isso significa que existe uma função potencial phi tal que F = nabla phi. Com isso, a integral ao longo de qualquer curva entre dois pontos será igual à diferença dos valores da função potencial nesses pontos.

Passo 5

Vamos encontrar a função potencial phi. Integramos P em relação a x:
Aqui, phi(x, y) = integral P , dx = integral (y e^x + sen(y) + 2x) , dx = y e^x + sen(y) x + x^2 + g(y) é uma função que depende apenas de g(y).

Passo 6

Agora, derivamos phi em relação a y e igualamos a Q para encontrar g(y):
partial phipartial y = e^x + x cos(y) + g'(y) = Q = e^x + x cos(y)
Isso implica que g'(y) = 0, ou seja, g(y) é constante. Podemos considerar g(y) = 0 sem perda de generalidade.

Passo 7

A função potencial é então:
Agora, aplicamos o teorema fundamental para integrais de linha em campos conservativos:
phi(x, y) = y e^x + x sen(y) + x^2

Resposta

Calculando os valores da função potencial nos pontos finais:
Portanto, a integral é:
phi(1, 0) = 0 cdot e^1 + 1 cdot sen(0) + 1^2 = 0 + 0 + 1 = 1

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