Calcule
, onde
e
é a fronteira do sólido limitado pelo paraboloide
e pelo plano
, orientada positivamente.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral de superfície
onde o campo vetorial é
. A superfície
é a fronteira do sólido que está limitado pelo paraboloide
e pelo plano
. Além disso, a orientação da superfície é positiva, o que significa que a normal aponta para fora do sólido. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teorema de Gauss. Ele nos diz que:
Aqui,
é a divergência do campo vetorial
e
é o volume limitado pela superfície
. Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a integral de volume da divergência de
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência é dada por:
Para o nosso campo
, temos:
Então,
Passo 4
Agora que sabemos que
, a integral de volume fica:
Isso significa que precisamos calcular o volume
delimitado pelo paraboloide
e pelo plano
.
Passo 5
Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo
. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
O paraboloide fica:
E o plano é
. Então, os limites para
são de
até
. Para
, ele varia de
até o raio onde o paraboloide atinge
, que é quando
. E para
, varia de
a
.
Passo 6
A integral de volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
Aqui,
é o fator que aparece no jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 7
Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em
:
Então, a integral agora é:
Passo 8
Agora, integramos em
:
Então, a integral agora é:
Resposta
A integral de superfície é igual a
.