Calcule integral duplaS F cdot d S, onde F(x, y, z)=(z, y, x) e S é a fronteira do sólido limitado pelo paraboloide z=1-x^2-y^2 e pelo plano z=0, orientada positivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente calcular a integral de superfície integral duplaS F cdot dS onde o campo vetorial é F(x, y, z) = (z, y, x). A superfície S é a fronteira do sólido que está limitado pelo paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 0. Além disso, a orientação da superfície é positiva, o que significa que a normal aponta para fora do sólido. Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Gauss (Teorema da Divergência), que relaciona a integral de superfície com a integral de volume.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teorema de Gauss. Ele nos diz que:
integral duplaS F cdot dS = integral triplaV nabla cdot F , dV
Aqui, nabla cdot F é a divergência do campo vetorial F e V é o volume limitado pela superfície S. Então, em vez de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a integral de volume da divergência de F.

Passo 3

Vamos calcular a divergência de F. A divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Para o nosso campo F(x, y, z) = (z, y, x), temos:
partial Fxpartial x = partial zpartial x = 0
partial Fypartial y = partial ypartial y = 1
partial Fzpartial z = partial xpartial z = 0
Então,
nabla cdot F = 0 + 1 + 0 = 1

Passo 4

Agora que sabemos que nabla cdot F = 1, a integral de volume fica:
integral triplaV 1 , dV
Isso significa que precisamos calcular o volume V delimitado pelo paraboloide z = 1 - x^2 - y^2 e pelo plano z = 0.

Passo 5

Vamos usar coordenadas cilíndricas para facilitar o cálculo, já que o paraboloide é simétrico em relação ao eixo z. Nas coordenadas cilíndricas, temos:
x = r cos theta
y = r sin theta
z = z
O paraboloide fica:
z = 1 - r^2
E o plano é z = 0. Então, os limites para z são de 0 até 1 - r^2. Para r, ele varia de 0 até o raio onde o paraboloide atinge z = 0, que é quando 1 - r^2 = 0 Rightarrow r = 1. E para theta, varia de 0 a 2pi.

Passo 6

A integral de volume em coordenadas cilíndricas é dada por:
integral triplaV dV = integral0^2pi integral0^1 integral0^1 - r^2 r , dz , dr , dtheta
Aqui, r é o fator que aparece no jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 7

Vamos calcular a integral passo a passo. Primeiro, integramos em z:
integral0^1 - r^2 dz = [z]0^1 - r^2 = 1 - r^2
Então, a integral agora é:
integral0^2pi integral0^1 r (1 - r^2) , dr , dtheta

Passo 8

Agora, integramos em r:
integral0^1 r (1 - r^2) , dr = integral0^1 (r - r^3) , dr = [ r^22 - r^44 ]0^1 = ( 12 - 14 ) = 14
Então, a integral agora é:
integral0^2pi 14 , dtheta = 14 times 2pi = pi2

Resposta

A integral de superfície é igual a dfracpi2.

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