Calcule integralC x y^2 d s, onde C é o segmento de reta que liga o ponto (1,0) ao ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, a gente vai calcular uma integral de linha aqui. O exercício pede para calcular , onde é o segmento de reta que liga o ponto ao ponto . Para resolver isso, vamos precisar parametrizar a reta, expressar e em função de um parâmetro, calcular (o diferencial de comprimento) e então integrar a função ao longo desse caminho.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar o segmento de reta x(t) = 1 - t . Como ele vai do ponto y(t) = t até , podemos usar um parâmetro que varia de 0 a 1. Assim, temos:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt , que representa um pequeno trecho do comprimento da curva. A fórmula geral para dxdt = -1 é:
dydt = 1
Vamos calcular as derivadas de ds = raiz(-1)^2 + (1)^2 , dt = raiz2 , dt e em relação a :
Substituindo na fórmula de :

Passo 4

Agora, substituímos integralC x y^2 , ds = integral0^1 (1 - t) cdot t^2 cdot raiz2 , dt = raiz2 integral0^1 (1 - t) t^2 , dt , e na integral original:

Passo 5

Vamos resolver a integral:
integral0^1 (1 - t) t^2 , dt = integral0^1 t^2 - t^3 , dt = [ t^33 - t^44 ]0^1 = ( 13 - 14 ) - 0 = 13 - 14 = 112

Passo 6

Multiplicando o resultado pela raiz2 cdot 112 = raiz212 :

Resposta

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