Calcule , onde é a parte da esfera 5 que está acima do plano e tem orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma parte específica da esfera. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, especificamente a rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a rotacional, parametrizar a superfície da esfera e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a rotacional do campo vetorial . A rotacional, ou , é uma medida de quanto o campo gira ao redor de um ponto. Ela é calculada usando derivadas parciais. Para um campo , a rotacional é:
Vamos identificar , e no nosso campo :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente da rotacional:
Então, a componente da rotacional é:
Vamos para a componente :
Então, a componente da rotacional é:
Finalmente, a componente :
Então, a componente da rotacional é:
Portanto, a rotacional de é:

Passo 4

Agora que temos a rotacional, precisamos calcular a integral de superfície . Para isso, vamos parametrizar a superfície , que é a parte da esfera acima do plano .
Uma esfera pode ser parametrizada usando coordenadas esféricas. Vamos usar:
Onde (raio da esfera), é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.
Como queremos apenas a parte acima de , precisamos encontrar o limite para . Quando :
Então, varia de a .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o elemento de área na parametrização esférica. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
Onde é o vetor normal à superfície. Como a esfera tem orientação ascendente (para cima), o vetor normal aponta na mesma direção das coordenadas , , .
Portanto:
Onde , mas como estamos multiplicando por , simplificamos para:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície:
Mas isso pode ficar complicado para calcular diretamente, então vamos pensar se há alguma simplificação possível. Uma boa estratégia é usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional a uma integral de linha ao longo da borda da superfície.
Porém, nessa situação, já temos uma orientação clara e a superfície é parte de uma esfera. Dependendo da complexidade, pode ser mais fácil calcular diretamente ou procurar uma simetria.
Para simplificar, vamos optar por calcular diretamente a integral usando a parametrização esférica.

Passo 7

Vamos substituir e na integral. Mas, dado que é bem complexo, vamos observar que a integral de rotacional sobre uma superfície fechada é igual a zero, pelo teorema de Stokes, mas nossa superfície não é fechada. Então, para evitar complicações, uma abordagem mais prática seria avaliar que, para campos vetoriais bem comportados, a integral de rotacional sobre uma esfera completa pode ser zero devido à simetria.
Entretanto, como estamos lidando apenas com a parte da esfera acima de , precisamos ajustar nossa abordagem. Uma alternativa é fechar a superfície adicionando o disco no plano e então usar o teorema de Stokes.

Passo 8

Vamos fechar a superfície adicionando o disco no plano . Assim, temos uma superfície fechada composta pela parte da esfera e pelo disco . Pelo teorema de Stokes:
Mas a borda de é nula, então a integral de linha é zero:
Portanto, podemos calcular a integral sobre o disco e inverter o sinal.

Passo 9

O disco está no plano e tem a equação . Então, é um círculo de raio 2 no plano .
No plano , a normal é (porque estamos invertendo o sentido devido à orientação), então:
Vamos calcular :
Como no disco :

Passo 10

Agora, a integral sobre fica:
Passando para coordenadas polares, onde e , e :
Calculando as integrais:
Portanto:

Passo 11

Lembre-se que:

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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