Calcule
, onde
é a parte da esfera
5 que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial
sobre uma parte específica da esfera. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, especificamente a rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a rotacional, parametrizar a superfície da esfera e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a rotacional do campo vetorial
. A rotacional, ou
, é uma medida de quanto o campo gira ao redor de um ponto. Ela é calculada usando derivadas parciais. Para um campo
, a rotacional é:
Vamos identificar
,
e
no nosso campo
:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada componente da rotacional:
Então, a componente
da rotacional é:
Vamos para a componente
:
Então, a componente
da rotacional é:
Finalmente, a componente
:
Então, a componente
da rotacional é:
Portanto, a rotacional de
é:
Passo 4
Agora que temos a rotacional, precisamos calcular a integral de superfície
. Para isso, vamos parametrizar a superfície
, que é a parte da esfera
acima do plano
.
Uma esfera pode ser parametrizada usando coordenadas esféricas. Vamos usar:
Onde
(raio da esfera),
é o ângulo polar e
é o ângulo azimutal.
Como queremos apenas a parte acima de
, precisamos encontrar o limite para
. Quando
:
Então,
varia de
a
.
Passo 5
Agora, precisamos calcular o elemento de área
na parametrização esférica. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
Onde
é o vetor normal à superfície. Como a esfera tem orientação ascendente (para cima), o vetor normal aponta na mesma direção das coordenadas
,
,
.
Portanto:
Onde
, mas como estamos multiplicando por
, simplificamos para:
Passo 6
Agora, vamos montar a integral de superfície:
Mas isso pode ficar complicado para calcular diretamente, então vamos pensar se há alguma simplificação possível. Uma boa estratégia é usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional a uma integral de linha ao longo da borda da superfície.
Porém, nessa situação, já temos uma orientação clara e a superfície é parte de uma esfera. Dependendo da complexidade, pode ser mais fácil calcular diretamente ou procurar uma simetria.
Para simplificar, vamos optar por calcular diretamente a integral usando a parametrização esférica.
Passo 7
Vamos substituir
e
na integral. Mas, dado que
é bem complexo, vamos observar que a integral de rotacional sobre uma superfície fechada é igual a zero, pelo teorema de Stokes, mas nossa superfície não é fechada. Então, para evitar complicações, uma abordagem mais prática seria avaliar que, para campos vetoriais bem comportados, a integral de rotacional sobre uma esfera completa pode ser zero devido à simetria.
Entretanto, como estamos lidando apenas com a parte da esfera acima de
, precisamos ajustar nossa abordagem. Uma alternativa é fechar a superfície adicionando o disco no plano
e então usar o teorema de Stokes.
Passo 8
Vamos fechar a superfície
adicionando o disco
no plano
. Assim, temos uma superfície fechada composta pela parte da esfera
e pelo disco
. Pelo teorema de Stokes:
Mas a borda de
é nula, então a integral de linha é zero:
Portanto, podemos calcular a integral sobre o disco
e inverter o sinal.
Passo 9
O disco
está no plano
e tem a equação
. Então,
é um círculo de raio 2 no plano
.
No plano
, a normal é
(porque estamos invertendo o sentido devido à orientação), então:
Vamos calcular
:
Como
no disco
:
Passo 10
Agora, a integral sobre
fica:
Passando para coordenadas polares, onde
e
, e
:
Calculando as integrais:
Portanto:
Passo 11
Lembre-se que:
Resposta
A integral de superfície
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
. Determine
.
Encontre o maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução.
Encontre a solução geral de:
.
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) sendo
o sólido demimitado por
.
(d)