Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde F(x, y, z)=x^2 y z i+y z^2 j+z^3 e^x y k, S é a parte da esfera x^2+y^2+z^2= 5 que está acima do plano z=1 e S tem orientação ascendente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície da rotacional de um campo vetorial sobre uma parte específica da esfera. O conteúdo aqui envolve cálculo vetorial, especificamente a rotacional de um campo vetorial e integrais de superfície. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a rotacional, parametrizar a superfície da esfera e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a rotacional do campo vetorial rot F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k . A rotacional, ou P = x^2 y z, Q = y z^2, R = z^3 e^x y , é uma medida de quanto o campo gira ao redor de um ponto. Ela é calculada usando derivadas parciais. Para um campo , a rotacional é:
Vamos identificar , e no nosso campo :

Passo 3

Agora, vamos calcular cada componente da rotacional:
partial Rpartial y = partialpartial y (z^3 e^x y) = z^3 x e^x y
partial Qpartial z = partialpartial z (y z^2) = 2 y z
Então, a componente partial Rpartial y - partial Qpartial z = z^3 x e^x y - 2 y z da rotacional é:
partial Ppartial z = partialpartial z (x^2 y z) = x^2 y
Vamos para a componente partial Rpartial x = partialpartial x (z^3 e^x y) = z^3 y e^x y :
partial Ppartial z - partial Rpartial x = x^2 y - z^3 y e^x y
partial Qpartial x = partialpartial x (y z^2) = 0
Então, a componente partial Ppartial y = partialpartial y (x^2 y z) = x^2 z da rotacional é:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 0 - x^2 z = -x^2 z
Finalmente, a componente rot F = (z^3 x e^x y - 2 y z) i + (x^2 y - z^3 y e^x y) j - x^2 z k :
Então, a componente da rotacional é:
Portanto, a rotacional de é:

Passo 4

Agora que temos a rotacional, precisamos calcular a integral de superfície x = rho sin phi cos theta . Para isso, vamos parametrizar a superfície y = rho sin phi sin theta , que é a parte da esfera z = rho cos phi acima do plano 1 = raiz5 cos phi Rightarrow cos phi = 1raiz5 Rightarrow phi = arccos(1raiz5) .
Uma esfera pode ser parametrizada usando coordenadas esféricas. Vamos usar:
Onde (raio da esfera), é o ângulo polar e é o ângulo azimutal.
Como queremos apenas a parte acima de , precisamos encontrar o limite para . Quando :
Então, varia de a .

Passo 5

Agora, precisamos calcular o elemento de área dS = rho^2 sin phi , dphi , dtheta , n na parametrização esférica. Em coordenadas esféricas, o elemento de área é dado por:
dS = rho^2 sin phi , dphi , dtheta , n
Onde dS = rho sin phi , dphi , dtheta , (xi + yj + zk) é o vetor normal à superfície. Como a esfera tem orientação ascendente (para cima), o vetor normal aponta na mesma direção das coordenadas , , .
Portanto:
Onde , mas como estamos multiplicando por , simplificamos para:

Passo 6

Agora, vamos montar a integral de superfície:
integral duplaS rot F cdot d S = integral0^2pi integral0^arccos(1raiz5) rot F cdot (rho sin phi , n , dphi , dtheta)
Mas isso pode ficar complicado para calcular diretamente, então vamos pensar se há alguma simplificação possível. Uma boa estratégia é usar o teorema de Stokes, que relaciona a integral de superfície da rotacional a uma integral de linha ao longo da borda da superfície.
Porém, nessa situação, já temos uma orientação clara e a superfície é parte de uma esfera. Dependendo da complexidade, pode ser mais fácil calcular diretamente ou procurar uma simetria.
Para simplificar, vamos optar por calcular diretamente a integral usando a parametrização esférica.

Passo 7

Vamos substituir e na integral. Mas, dado que é bem complexo, vamos observar que a integral de rotacional sobre uma superfície fechada é igual a zero, pelo teorema de Stokes, mas nossa superfície não é fechada. Então, para evitar complicações, uma abordagem mais prática seria avaliar que, para campos vetoriais bem comportados, a integral de rotacional sobre uma esfera completa pode ser zero devido à simetria.
Entretanto, como estamos lidando apenas com a parte da esfera acima de , precisamos ajustar nossa abordagem. Uma alternativa é fechar a superfície adicionando o disco no plano e então usar o teorema de Stokes.

Passo 8

Vamos fechar a superfície integral duplaS rot F cdot d S + integral duplaD rot F cdot d S = ointpartial (S cup D) F cdot dr adicionando o disco integral duplaS rot F cdot d S = -integral duplaD rot F cdot d S no plano . Assim, temos uma superfície fechada composta pela parte da esfera e pelo disco . Pelo teorema de Stokes:
Mas a borda de é nula, então a integral de linha é zero:
Portanto, podemos calcular a integral sobre o disco e inverter o sinal.

Passo 9

O disco dS = -k , dA está no plano rot F cdot dS = rot F cdot (-k) , dA = -(-x^2 z) , dA = x^2 z , dA e tem a equação rot F cdot dS = x^2 cdot 1 cdot dA = x^2 dA . Então, é um círculo de raio 2 no plano .
No plano , a normal é (porque estamos invertendo o sentido devido à orientação), então:
Vamos calcular :
Como no disco :

Passo 10

Agora, a integral sobre integral duplaD rot F cdot d S = integral duplaD x^2 dA fica:
integral duplaD x^2 dA = integral0^2pi integral0^2 (r cos theta)^2 r dr dtheta = integral0^2pi cos^2 theta , dtheta integral0^2 r^3 dr
Passando para coordenadas polares, onde integral0^2 r^3 dr = [ r^44 ]0^2 = 164 = 4 e integral0^2pi cos^2 theta , dtheta = pi , e integral duplaD x^2 dA = pi cdot 4 = 4pi :
Calculando as integrais:
Portanto:

Passo 11

Lembre-se que:
integral duplaS rot F cdot d S = -integral duplaD rot F cdot d S = -4pi

Resposta

A integral de superfície é igual a .

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