Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d)
sendo
o sólido demimitado por
.
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla
, onde
é o sólido limitado por
e
. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas em cálculo, especificamente usando a mudança de variáveis para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos provavelmente usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região de integração
. O sólido é limitado abaixo por
(o plano xy) e acima por
, que é um paraboloide invertido. Isso significa que a base do sólido está no plano xy e a parte superior é o paraboloide.
Passo 3
Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos
,
e
. Além disso, o elemento de volume
em coordenadas cilíndricas é
.
Passo 4
Expressando os limites em coordenadas cilíndricas:
-
varia de até (porque ). -
varia de até a interseção do paraboloide com , ou seja, . -
varia de a para cobrir toda a circunferência.
Passo 5
Agora, reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
Passo 6
Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a
:
Passo 7
Substituindo de volta na integral, temos:
Passo 8
Vamos simplificar a integral em
:
Expandindo
:
Então, a integral fica:
Passo 9
Multiplicando cada termo por
:
Passo 10
Agora, integramos em relação a
:
Calculando os limites:
Simplificando:
Resposta
A integral tripla
vale
.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de:
.
Calcule
, onde
é a parte da esfera
5 que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo
a região interior à esfera
e exterior ao cone
.
(b)
Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada:
.