Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) integral triplaT z d V sendo T o sólido demimitado por z=0 e z=4-x^2-y^2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla integral triplaT z , dV, onde T é o sólido limitado por z = 0 e z = 4 - x^2 - y^2. Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas em cálculo, especificamente usando a mudança de variáveis para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos provavelmente usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração T. O sólido é limitado abaixo por z = 0 (o plano xy) e acima por z = 4 - x^2 - y^2, que é um paraboloide invertido. Isso significa que a base do sólido está no plano xy e a parte superior é o paraboloide.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos x = r cos theta, y = r sin theta e z = z. Além disso, o elemento de volume dV em coordenadas cilíndricas é r , dr , dtheta , dz.

Passo 4

Expressando os limites em coordenadas cilíndricas:
  • z varia de 0 até 4 - r^2 (porque z = 4 - x^2 - y^2 = 4 - r^2).
  • r varia de 0 até a interseção do paraboloide com z=0, ou seja, 4 - r^2 = 0 Rightarrow r = 2.
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:
integral triplaT z , dV = integral0^2pi integral0^2 integral0^4 - r^2 z cdot r , dz , dr , dtheta

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a z:
integral0^4 - r^2 z , dz = [ 12 z^2 ]0^4 - r^2 = 12 (4 - r^2)^2

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:
integral0^2pi integral0^2 12 (4 - r^2)^2 cdot r , dr , dtheta

Passo 8

Vamos simplificar a integral em r:
12 integral0^2pi integral0^2 (4 - r^2)^2 cdot r , dr , dtheta
Expandindo (4 - r^2)^2:
(4 - r^2)^2 = 16 - 8r^2 + r^4
Então, a integral fica:
12 integral0^2pi integral0^2 (16 - 8r^2 + r^4) cdot r , dr , dtheta

Passo 9

Multiplicando cada termo por r:
12 integral0^2pi integral0^2 (16r - 8r^3 + r^5) , dr , dtheta

Passo 10

Agora, integramos em relação a r:
12 integral0^2pi [ 162 r^2 - 84 r^4 + 16 r^6 ]0^2 , dtheta
Calculando os limites:
12 integral0^2pi ( 8 cdot 4 - 2 cdot 16 + 16 cdot 64 ) , dtheta = 12 integral0^2pi (32 - 32 + 646) , dtheta = 12 integral0^2pi 646 , dtheta
Simplificando:
12 cdot 646 integral0^2pi 1 , dtheta = 326 cdot 2pi = 326 cdot 2pi = 646 pi = 323 pi

Resposta

A integral tripla integral triplaT z , dV vale dfrac323 pi.

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