Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) sendo o sólido demimitado por .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral tripla , onde é o sólido limitado por e . Isso está relacionado ao estudo de integrais múltiplas em cálculo, especificamente usando a mudança de variáveis para facilitar a resolução. Para resolver isso, vamos provavelmente usar coordenadas cilíndricas porque a região tem simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região de integração . O sólido é limitado abaixo por (o plano xy) e acima por , que é um paraboloide invertido. Isso significa que a base do sólido está no plano xy e a parte superior é o paraboloide.

Passo 3

Agora, para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas cilíndricas. Nas coordenadas cilíndricas, substituímos , e . Além disso, o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é .

Passo 4

Expressando os limites em coordenadas cilíndricas:
  • varia de até (porque ).
  • varia de até a interseção do paraboloide com , ou seja, .
  • varia de a para cobrir toda a circunferência.

Passo 5

Agora, reescrevemos a integral tripla em coordenadas cilíndricas:

Passo 6

Vamos resolver a integral mais interna primeiro, que é em relação a :

Passo 7

Substituindo de volta na integral, temos:

Passo 8

Vamos simplificar a integral em :
Expandindo :
Então, a integral fica:

Passo 9

Multiplicando cada termo por :

Passo 10

Agora, integramos em relação a :
Calculando os limites:
Simplificando:

Resposta

A integral tripla vale .

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Encontre a solução geral de: .
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Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo a região interior à esfera e exterior ao cone .
Use o método da redução de ordem para encontrar uma segunda solução da equação dada: .