Encontre o maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução. x y'' + 3 y = x, y(1) = 1, y'(1) = 2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI), onde queremos encontrar o maior intervalo onde a solução é única. A equação que estamos lidando é , com as condições e . Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de existência e unicidade para equações diferenciais de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar isolado. Dividindo ambos os lados por , temos:

Passo 3

Agora, identificamos os coeficientes da equação diferencial. Aqui, o coeficiente de é 1, o de é , e o termo independente é 1.

Passo 4

Para garantir a unicidade da solução, precisamos que os coeficientes sejam contínuos no intervalo considerado. O termo é contínuo onde o denominador não é zero. Portanto, não pode ser zero.

Passo 5

Além disso, as condições iniciais estão dadas em , que não é um ponto problemático já que . Assim, o maior intervalo possível que não inclui e contém é .

Resposta

O maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução é .

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