Encontre o maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um Problema de Valor Inicial (PVI), onde queremos encontrar o maior intervalo onde a solução é única. A equação que estamos lidando é
, com as condições
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar a teoria de existência e unicidade para equações diferenciais de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos rearranjar a equação para deixar
isolado. Dividindo ambos os lados por
, temos:
Passo 3
Agora, identificamos os coeficientes da equação diferencial. Aqui, o coeficiente de
é 1, o de
é
, e o termo independente é 1.
Passo 4
Para garantir a unicidade da solução, precisamos que os coeficientes sejam contínuos no intervalo considerado. O termo
é contínuo onde o denominador
não é zero. Portanto,
não pode ser zero.
Passo 5
Além disso, as condições iniciais estão dadas em
, que não é um ponto problemático já que
. Assim, o maior intervalo possível que não inclui
e contém
é
.
Resposta
O maior intervalo no qual o PVI dado certamente possui uma única solução é
.
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em palavras.
.
Seja
. Determine
.
Calcule
, onde
é a parte da esfera
5 que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.