Encontre a solução geral de: y'' - 2y' - 3y = 3e^(2x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo . Isso significa que estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada: . Para isso, a gente monta a equação característica, que fica: . A gente resolve essa equação quadrática pra achar os valores de r.

Passo 3

Resolvendo a equação característica , usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são e . Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa . Como o lado direito é uma exponencial , tentamos uma solução da forma , onde A é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então, e .
Portanto, a solução particular é:

Passo 5

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é .

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