Encontre a solução geral de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial do tipo
. Isso significa que estamos lidando com uma equação linear não homogênea. Pra resolver, a gente vai precisar encontrar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea associada e uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
. Para isso, a gente monta a equação característica, que fica:
. A gente resolve essa equação quadrática pra achar os valores de
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, usamos a fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes são
e
. Isso significa que a solução geral da equação homogênea é:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular da equação completa
. Como o lado direito é uma exponencial
, tentamos uma solução da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação:
Simplificando:
Então,
e
.
Portanto, a solução particular é:
Passo 5
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, onde
é a parte da esfera
5 que está acima do plano
e
tem orientação ascendente.
Seja
. Determine
.
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(d) sendo
o sólido demimitado por
.
(d)
Calcule as integrais usando mudança de variáveis
(b) sendo
a região interior à esfera
e exterior ao cone
.
(b)