Calcule integral duplaS rot F cdot d S, onde F(x, y, z)=x y i+x j+z^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de sobre uma superfície , onde o campo vetorial é . Aqui, estamos trabalhando com o cálculo vetorial, especificamente com integrais de campos vetoriais usando o Teorema de Stokes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional ( ) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície em uma integral de contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o rotacional de rot F = nabla times F = ( partial Rpartial y - partial Qpartial z ) i + ( partial Ppartial z - partial Rpartial x ) j + ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) k . O rotacional de um campo vetorial partial Rpartial y = partial z^2partial y = 0 é dado por:
partial Qpartial z = partial xpartial z = 0
Vamos encontrar cada componente:
  • partial Ppartial z = partial (x y)partial z = 0
  • partial Rpartial x = partial z^2partial x = 0
  • partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
Calculando as derivadas parciais:
partial Ppartial y = partial (x y)partial y = x
rot F = (0 - 0)i + (0 - 0)j + (1 - x)k = (1 - x)k
Agora, substituindo na expressão do rotacional:

Passo 3

Agora que temos o rotacional de integral duplaS rot F cdot dS = ointpartial S F cdot dr , podemos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de sobre é igual à integral de linha de ao longo da borda de (representada por ).

Passo 4

Para calcular ointpartial S F cdot dr = integrala^b F(r(t)) cdot r,'(t) , dt , precisamos conhecer a curva que delimita a superfície . Como o enunciado não especifica , não podemos prosseguir com uma resposta numérica específica. No entanto, podemos expressar a integral em termos gerais.
Supondo que a curva seja parametrizada por , onde varia de a , então:
Mas sem a parametrização específica da curva, não podemos calcular o valor exato da integral.

Resposta

A integral dupla é igual à integral de linha ao longo da borda de . Sem informações adicionais sobre a superfície ou sua borda, não é possível determinar um valor numérico específico.

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