Calcule
, onde
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla de
sobre uma superfície
, onde o campo vetorial é
. Aqui, estamos trabalhando com o cálculo vetorial, especificamente com integrais de campos vetoriais usando o Teorema de Stokes. Para resolver, vamos precisar entender o que é o rotacional (
) de um campo vetorial e como aplicar o Teorema de Stokes para transformar uma integral de superfície em uma integral de contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o rotacional de
. O rotacional de um campo vetorial
é dado por:
Vamos encontrar cada componente:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, substituindo na expressão do rotacional:
Passo 3
Agora que temos o rotacional de
, podemos aplicar o Teorema de Stokes, que nos diz que:
Ou seja, a integral de superfície do rotacional de
sobre
é igual à integral de linha de
ao longo da borda de
(representada por
).
Passo 4
Para calcular
, precisamos conhecer a curva que delimita a superfície
. Como o enunciado não especifica
, não podemos prosseguir com uma resposta numérica específica. No entanto, podemos expressar a integral em termos gerais.
Supondo que a curva
seja parametrizada por
, onde
varia de
a
, então:
Mas sem a parametrização específica da curva, não podemos calcular o valor exato da integral.
Resposta
A integral dupla
é igual à integral de linha
ao longo da borda de
. Sem informações adicionais sobre a superfície
ou sua borda, não é possível determinar um valor numérico específico.