Determine o fluxo do campo vetorial F(x, y, z) = sen(y z) i + y^2 j + e^(x sen(y)) k, onde S é a superfície do sólido E limitado pelo parabolóide z = x^2 + y^2 e pelo plano z = 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial através da superfície que delimita o sólido . O sólido está limitado pelo parabolóide e pelo plano .
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície com a integral tripla da divergência de sobre o volume . Precisamos calcular a divergência de e depois integrar isso sobre o sólido .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial . A divergência, denotada por , é dada por:
Onde , , e . Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:

Passo 3

Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume . Como a região é simétrica e limitada por um parabolóide e um plano, é conveniente usar coordenadas cilíndricas , onde:
No sistema cilíndrico, o parabolóide fica e o plano permanece igual. Os limites de integração serão:
  • varia de 0 até (já que , então ).
  • varia de 0 a para cobrir todo o círculo.
  • varia de até 1.
A integral tripla fica:
Mas lembrando que em coordenadas cilíndricas, , então substituindo:
A integral fica então:

Passo 4

Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a :
Agora, a integral dupla fica:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando a integral em :
Isso porque a função seno é simétrica e se anula no intervalo completo de a .

Resposta

O fluxo do campo vetorial através da superfície é zero.

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