Determine o fluxo do campo vetorial
, onde
é a superfície do sólido
limitado pelo parabolóide
e pelo plano
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
que delimita o sólido
. O sólido
está limitado pelo parabolóide
e pelo plano
.
Para resolver isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através da superfície
com a integral tripla da divergência de
sobre o volume
. Precisamos calcular a divergência de
e depois integrar isso sobre o sólido
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a divergência do campo vetorial
. A divergência, denotada por
, é dada por:
Onde
,
, e
. Calculando cada derivada parcial:
Então, a divergência fica:
Passo 3
Agora, vamos configurar a integral tripla da divergência sobre o volume
. Como a região é simétrica e limitada por um parabolóide e um plano, é conveniente usar coordenadas cilíndricas
, onde:
No sistema cilíndrico, o parabolóide
fica
e o plano
permanece igual. Os limites de integração serão:
-
varia de 0 até (já que , então ). -
varia de 0 a para cobrir todo o círculo. -
varia de até 1.
A integral tripla fica:
Mas lembrando que em coordenadas cilíndricas,
, então substituindo:
A integral fica então:
Passo 4
Vamos resolver a integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
:
Agora, a integral dupla fica:
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando a integral em
:
Isso porque a função seno é simétrica e se anula no intervalo completo de
a
.
Resposta
O fluxo do campo vetorial
através da superfície
é zero.