Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação vetorial que descreve uma superfície no espaço tridimensional:
, onde
vai de
até
e
vai de
até
. Nosso objetivo aqui é transformar essa equação vetorial em uma equação cartesiana, que é mais fácil de visualizar e trabalhar. Para isso, vamos precisar entender como relacionar os parâmetros
e
com as coordenadas
,
e
no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as relações entre as componentes da equação vetorial e as coordenadas cartesianas. A equação vetorial nos dá:
Essas igualdades nos mostram como cada coordenada depende dos parâmetros
e
.
Passo 3
Agora, queremos eliminar os parâmetros
e
para encontrar uma relação direta entre
,
e
. Vamos começar com a relação
. Isso significa que podemos substituir
por
nas outras equações:
Veja que
agora está diretamente relacionado a
, e
está independente.
Passo 4
A equação
é uma parábola que se estende ao longo do eixo
. Isso descreve uma superfície chamada cilindro parabólico. Já que
e
está no intervalo de
a
, isso significa que nosso cilindro parabólico está limitado verticalmente entre
e
.
Passo 5
Além disso, o parâmetro
varia de
a
, o que, como
, restringe
a esse mesmo intervalo. Portanto, nossa superfície não se estende indefinidamente ao longo do eixo
, mas fica confinada entre
e
.
Resposta
A equação cartesiana da superfície é:
Exercícios relacionados
Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
Calcule:
, sendo
e
a parte da esfera
no primeiro octante com a normal apontando para fora;
Calcule:
, onde
é a superfície exterior do cone
delimitado pelos planos
e
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido
.
o fluxo do campo vetorial