Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
vec(r)(u, v) = (u, u^2, v), -2 <= u <= 2, 0 <= v <= 4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação vetorial que descreve uma superfície no espaço tridimensional: , onde u vai de -2 até e v vai de 0 até . Nosso objetivo aqui é transformar essa equação vetorial em uma equação cartesiana, que é mais fácil de visualizar e trabalhar. Para isso, vamos precisar entender como relacionar os parâmetros u e v com as coordenadas x, y e z no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as componentes da equação vetorial e as coordenadas cartesianas. A equação vetorial nos dá:
Essas igualdades nos mostram como cada coordenada depende dos parâmetros u e v.

Passo 3

Agora, queremos eliminar os parâmetros u e v para encontrar uma relação direta entre x, y e z. Vamos começar com a relação . Isso significa que podemos substituir u por x nas outras equações:
Veja que y agora está diretamente relacionado a x, e z está independente.

Passo 4

A equação é uma parábola que se estende ao longo do eixo z. Isso descreve uma superfície chamada cilindro parabólico. Já que e v está no intervalo de 0 a , isso significa que nosso cilindro parabólico está limitado verticalmente entre e .

Passo 5

Além disso, o parâmetro u varia de -2 a , o que, como , restringe x a esse mesmo intervalo. Portanto, nossa superfície não se estende indefinidamente ao longo do eixo x, mas fica confinada entre e x = 2.

Resposta

A equação cartesiana da superfície é:

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