Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação vetorial que descreve uma superfície no espaço tridimensional: , onde vai de até e vai de até . Nosso objetivo aqui é transformar essa equação vetorial em uma equação cartesiana, que é mais fácil de visualizar e trabalhar. Para isso, vamos precisar entender como relacionar os parâmetros e com as coordenadas , e no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as relações entre as componentes da equação vetorial e as coordenadas cartesianas. A equação vetorial nos dá:
Essas igualdades nos mostram como cada coordenada depende dos parâmetros e .

Passo 3

Agora, queremos eliminar os parâmetros e para encontrar uma relação direta entre , e . Vamos começar com a relação . Isso significa que podemos substituir por nas outras equações:
Veja que agora está diretamente relacionado a , e está independente.

Passo 4

A equação é uma parábola que se estende ao longo do eixo . Isso descreve uma superfície chamada cilindro parabólico. Já que e está no intervalo de a , isso significa que nosso cilindro parabólico está limitado verticalmente entre e .

Passo 5

Além disso, o parâmetro varia de a , o que, como , restringe a esse mesmo intervalo. Portanto, nossa superfície não se estende indefinidamente ao longo do eixo , mas fica confinada entre e .

Resposta

A equação cartesiana da superfície é:

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Obtenha uma equação cartesiana para as superfícies dadas:
;
Calcule:
, sendo e a parte da esfera no primeiro octante com a normal apontando para fora;
Calcule:
, onde é a superfície exterior do cone delimitado pelos planos e
Calcule:
o fluxo do campo vetorial através da superfície exterior do sólido .