Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o retangulo delimitado pelas retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é um retângulo delimitado pelas retas , , e . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral em múltiplas variáveis e realizar uma mudança de variável apropriada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica os limites de integração. Observando as equações que delimitam a região , notamos que elas podem ser expressas em termos de e . Isso vai facilitar a definição dos novos limites na nova coordenada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a medida da área na mudança de variável. As equações são:
Para encontrar o jacobiano, resolvemos essas equações para e :
Agora, derivamos e em relação a e :
O determinante do jacobiano é:
Como estamos interessados no módulo do jacobiano, temos .
Passo 4
Vamos agora determinar os novos limites de integração na coordenada . As retas que delimitam são:
Portanto, varia de 0 a 3 e varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se torna:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então: