Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o retangulo delimitado pelas retas

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é um retângulo delimitado pelas retas , , e . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral em múltiplas variáveis e realizar uma mudança de variável apropriada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica os limites de integração. Observando as equações que delimitam a região , notamos que elas podem ser expressas em termos de e . Isso vai facilitar a definição dos novos limites na nova coordenada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a medida da área na mudança de variável. As equações são:
Para encontrar o jacobiano, resolvemos essas equações para e :
Agora, derivamos e em relação a e :
O determinante do jacobiano é:
Como estamos interessados no módulo do jacobiano, temos .

Passo 4

Vamos agora determinar os novos limites de integração na coordenada . As retas que delimitam são:
Portanto, varia de 0 a 3 e varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se torna:
Simplificando o expoente:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a :
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então:
Agora, substituímos de volta na integral externa:
Simplificando:

Resposta

O valor da integral é .

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