Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. , onde é o retangulo delimitado pelas retas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. O enunciado pede para calcular a integral de sobre a região , que é um retângulo delimitado pelas retas , , e . Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral em múltiplas variáveis e realizar uma mudança de variável apropriada para simplificar a integral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica os limites de integração. Observando as equações que delimitam a região , notamos que elas podem ser expressas em termos de e . Isso vai facilitar a definição dos novos limites na nova coordenada.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a medida da área na mudança de variável. As equações são:
Para encontrar o jacobiano, resolvemos essas equações para e :
Agora, derivamos e em relação a e :
O determinante do jacobiano é:
Como estamos interessados no módulo do jacobiano, temos |J| = 12.
Passo 4
Vamos agora determinar os novos limites de integração na coordenada (u, v). As retas que delimitam R são:
x - y = 0 Rightarrow v = 0 x - y = 2 Rightarrow v = 2 x + y = 0 Rightarrow u = 0 x + y = 3 Rightarrow u = 3
Portanto, u varia de 0 a 3 e v varia de 0 a 2.
Passo 5
Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se torna:
integral duplaR (x + y) e^x^2 - y^2 , dA = integral duplaR' u e^((u + v2)^2 - (u - v2)^2) cdot 12 , du , dv
Simplificando o expoente:
(u + v2)^2 - (u - v2)^2 = (u + v)^2 - (u - v)^24 = 4uv4 = uv
Então, a integral fica:
12 integral0^3 integral0^2 u e^uv , dv , du
Passo 6
Vamos resolver a integral interna em relação a v:
integral0^2 u e^uv , dv
Fazendo a substituição w = uv, temos dw = u , dv, ou seja, dv = dwu. Então:
integral0^2 u e^uv , dv = integral0^2u e^w , dw = e^w g|0^2u = e^2u - 1