Calcule a integral, efetuando uma mudança de variáveis apropriada. integral duplaR(x+y) e^x^2-y^2 d A, onde R é o retangulo delimitado pelas retas x-y=0, x-y=2, x+y=0 e x+y=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral dupla que envolve uma mudança de variável. O enunciado pede para calcular a integral de (x + y) e^x^2 - y^2 sobre a região R, que é um retângulo delimitado pelas retas x - y = 0, x - y = 2, x + y = 0 e x + y = 3. Para isso, vamos usar o conteúdo de cálculo integral em múltiplas variáveis e realizar uma mudança de variável apropriada para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma mudança de variável que simplifica os limites de integração. Observando as equações que delimitam a região R, notamos que elas podem ser expressas em termos de u = x + y e v = x - y. Isso vai facilitar a definição dos novos limites na nova coordenada.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o determinante jacobiano dessa transformação para ajustar a medida da área na mudança de variável. As equações são:
u = x + y v = x - y
Para encontrar o jacobiano, resolvemos essas equações para x e y:
x = u + v2 y = u - v2
Agora, derivamos x e y em relação a u e v:
partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
O determinante do jacobiano é:
J = 12 & 12 12 & -12 = (12)(-12) - (12)(12) = -14 - 14 = -12
Como estamos interessados no módulo do jacobiano, temos |J| = 12.

Passo 4

Vamos agora determinar os novos limites de integração na coordenada (u, v). As retas que delimitam R são:
x - y = 0 Rightarrow v = 0 x - y = 2 Rightarrow v = 2 x + y = 0 Rightarrow u = 0 x + y = 3 Rightarrow u = 3
Portanto, u varia de 0 a 3 e v varia de 0 a 2.

Passo 5

Agora, substituímos tudo na integral original. A integral se torna:
integral duplaR (x + y) e^x^2 - y^2 , dA = integral duplaR' u e^((u + v2)^2 - (u - v2)^2) cdot 12 , du , dv
Simplificando o expoente:
(u + v2)^2 - (u - v2)^2 = (u + v)^2 - (u - v)^24 = 4uv4 = uv
Então, a integral fica:
12 integral0^3 integral0^2 u e^uv , dv , du

Passo 6

Vamos resolver a integral interna em relação a v:
integral0^2 u e^uv , dv
Fazendo a substituição w = uv, temos dw = u , dv, ou seja, dv = dwu. Então:
integral0^2 u e^uv , dv = integral0^2u e^w , dw = e^w g|0^2u = e^2u - 1
Agora, substituímos de volta na integral externa:
12 integral0^3 (e^2u - 1) , du = 12 ( e^2u2 - u ) g|0^3 = 12 ( e^62 - 3 - ( 12 - 0 ) ) = 12 ( e^62 - 3 - 12 )
Simplificando:
12 ( e^6 - 72 ) = e^6 - 74

Resposta

O valor da integral é e^6 - 74.

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