Considere um circuito elétrico contendo um capacitor, um resistor e uma bateria. A carga
no capacitor satisfaz a equação diferencial
onde
é a resistência,
é a capacitância e
é a voltagem constante fornecida pela bateria.
Encontre o valor limite
do qual
se aproxima após um longo tempo.
Encontre o valor limite
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de circuito elétrico! O enunciado fala sobre um circuito com um resistor, um capacitor e uma bateria. A gente precisa encontrar o valor limite da carga
no capacitor quando o tempo tende ao infinito. Para fazer isso, vamos usar um pouquinho de cálculo diferencial e entender como os componentes do circuito influenciam na carga.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na equação diferencial que descreve a carga no capacitor:
Aqui,
é a resistência,
é a capacitância, e
é a voltagem da bateria. Nossa missão é encontrar o valor de
quando
vai para o infinito, ou seja,
.
Passo 3
Quando o tempo tende ao infinito, a taxa de variação da carga
também tende a zero, porque a carga está se estabilizando. Então, podemos simplificar a equação:
Isso reduz para:
Passo 4
Agora, para encontrar
, basta isolar essa variável:
Resposta
O valor limite da carga no capacitor é
.
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é solução da equação diferencial.
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, onde
é o retangulo delimitado pelas retas
método de Cholesky e a resolução do seguinte problema: