Calcule a integral imprópria
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Passo 1
Então, temos aqui uma integral imprópria para calcular:
Este problema pertence ao conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente envolvendo integrais impróprias e funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de integração que lidam com limites infinitos e simplificações de funções racionais multiplicadas por funções trigonométricas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral imprópria. São integrais que envolvem limites infinitos ou integrais de funções que não são limitadas em algum ponto do intervalo. No nosso caso, o limite superior é infinito.
Passo 3
Vamos reescrever a integral de forma a facilitar a aplicação de técnicas de integração:
Podemos notar que a função
se assemelha à derivada de
, mas multiplicada por , isso complica um pouco as coisas. Portanto, uma abordagem melhor é usar uma técnica conhecida como integração por partes ou recorrer a integrais conhecidas envolvendo funções racionais e trigonométricas.
Passo 4
Recorremos a uma fórmula conhecida de integração que envolve funções racionais multiplicadas por funções trigonométricas. Uma fórmula útil é:
Essa fórmula pode ser obtida através de técnicas avançadas de integração, como transformadas de Fourier ou métodos de contorno na análise complexa, mas para simplificar, vamos aplicar esse resultado diretamente.
Passo 5
Portanto, aplicando a fórmula mencionada, substituímos na integral original:
Resposta
A integral imprópria é igual a
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