Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções. (cos(z) - 1) / log(1 + z).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as ordens de cada pólo e zero da função . Isso está ligado ao estudo de funções complexas, mais especificamente à identificação de zeros (onde a função se anula) e pólos (onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito). Vamos precisar entender onde o numerador é zero e onde o denominador é zero para encontrar os zeros e pólos, respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Os zeros ocorrem quando o numerador é igual a zero e o denominador não é zero. Então, temos que resolver:
Isso implica que:
Sabemos que quando , onde é um número inteiro ( ).
Agora, precisamos verificar se o denominador não é zero nesses pontos. A quando , ou seja, quando . Portanto, para com , o denominador não é zero, garantindo que esses pontos são realmente zeros da função.
Além disso, vamos verificar a ordem desses zeros. A derivada de em é:
Em , , o que indica que temos um zero de multiplicidade maior que 1. Vamos calcular a segunda derivada:
Em , , então o zero é de ordem 2.

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pólos da função. Os pólos ocorrem quando o denominador é zero e o numerador não é zero. Então, precisamos resolver:
Isso implica que:
Portanto, é um possível pólo. Vamos verificar se o numerador nesse ponto não é zero:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são zero em . Isso significa que não é um pólo, mas sim um ponto que pode ser um indeterminado ou um zero de múltipla ordem. Para determinar isso, vamos analisar o limite da função quando se aproxima de 0:
Sabemos que, para próximo de 0:
Substituindo na função:
Quando , o limite tende a 0. Portanto, é um zero de ordem 3.

Resposta

A função possui zeros de ordem 2 em para todo e um zero de ordem 3 em . Não há pólos na função.

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