Determine as ordens de cada pólo e zero das das funções.
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar as ordens de cada pólo e zero da função
. Isso está ligado ao estudo de funções complexas, mais especificamente à identificação de zeros (onde a função se anula) e pólos (onde a função “explode”, ou seja, tende ao infinito). Vamos precisar entender onde o numerador é zero e onde o denominador é zero para encontrar os zeros e pólos, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os zeros da função. Os zeros ocorrem quando o numerador é igual a zero e o denominador não é zero. Então, temos que resolver:
Isso implica que:
Sabemos que
quando
, onde
é um número inteiro (
).
Agora, precisamos verificar se o denominador
não é zero nesses pontos. A
quando
, ou seja, quando
. Portanto, para
com
, o denominador não é zero, garantindo que esses pontos são realmente zeros da função.
Além disso, vamos verificar a ordem desses zeros. A derivada de
em
é:
Em
,
, o que indica que temos um zero de multiplicidade maior que 1. Vamos calcular a segunda derivada:
Em
,
, então o zero é de ordem 2.
Passo 3
Agora, vamos encontrar os pólos da função. Os pólos ocorrem quando o denominador é zero e o numerador não é zero. Então, precisamos resolver:
Isso implica que:
Portanto,
é um possível pólo. Vamos verificar se o numerador nesse ponto não é zero:
Aqui, tanto o numerador quanto o denominador são zero em
. Isso significa que
não é um pólo, mas sim um ponto que pode ser um indeterminado ou um zero de múltipla ordem. Para determinar isso, vamos analisar o limite da função quando
se aproxima de 0:
Sabemos que, para
próximo de 0:
Substituindo na função:
Quando
, o limite tende a 0. Portanto,
é um zero de ordem 3.
Resposta
A função
possui zeros de ordem 2 em
para todo
e um zero de ordem 3 em
. Não há pólos na função.