Calcule
, onde
é o losango de vértices 0,4 e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno específico. A função que temos é:
Aqui,
é um losango com vértices em 0, 4 e
. Para resolver isso, vamos usar a Teoria das Resíduos, que é uma ferramenta poderosa no Cálculo Complexo para avaliar integrais ao longo de contornos fechados.
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar os pólos da função dentro do contorno
. Os pólos são os valores de
que tornam o denominador zero, ou seja, solucionando:
Vamos resolver essa equação quadrática.
Passo 3
Resolvendo a equação
usando a fórmula quadrática:
Então, os pólos são:
Passo 4
Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno
. O losango
tem vértices em 0, 4 e
. Isso forma um losango centrado em 2, com alcance até 0 e 4 no eixo real e até
no eixo imaginário.
Vamos verificar:
-
: Está entre 0 e 4 no eixo real, dentro do losango. -
: Está fora do intervalo entre 0 e 4 no eixo real, fora do losango.
Portanto, apenas
está dentro de
.
Passo 5
Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
Onde
é o resíduo da função
no pólo
.
Vamos calcular esse resíduo.
Passo 6
Para um pólo simples (que é o caso aqui), o resíduo é dado por:
Então, substituindo
:
Agora substituímos
:
Passo 7
Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
Resposta
A integral vale
.