Calcule integralgamma z e^( z-i)z^2-2 z-3 d z, onde gamma é o losango de vértices 0,4 e 2 pm i.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de uma função complexa ao longo de um contorno específico. A função que temos é:
integralgamma z e^z - iz^2 - 2z - 3 , dz
Aqui, gamma é um losango com vértices em 0, 4 e 2 pm i. Para resolver isso, vamos usar a Teoria das Resíduos, que é uma ferramenta poderosa no Cálculo Complexo para avaliar integrais ao longo de contornos fechados.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os pólos da função dentro do contorno gamma. Os pólos são os valores de z que tornam o denominador zero, ou seja, solucionando:
z^2 - 2z - 3 = 0
Vamos resolver essa equação quadrática.

Passo 3

Resolvendo a equação z^2 - 2z - 3 = 0 usando a fórmula quadrática:
z = 2 pm raiz4 + 122 = 2 pm raiz162 = 2 pm 42
Então, os pólos são:
z = 62 = 3 e z = -22 = -1

Passo 4

Agora, precisamos verificar quais desses pólos estão dentro do contorno gamma. O losango gamma tem vértices em 0, 4 e 2 pm i. Isso forma um losango centrado em 2, com alcance até 0 e 4 no eixo real e até 2 pm i no eixo imaginário.
Vamos verificar:
  • z = 3: Está entre 0 e 4 no eixo real, dentro do losango.
  • z = -1: Está fora do intervalo entre 0 e 4 no eixo real, fora do losango.
Portanto, apenas z = 3 está dentro de gamma.

Passo 5

Agora, aplicamos o Teorema dos Resíduos, que diz que:
integralgamma f(z) , dz = 2pi i times Res(f, z0)
Onde Res(f, z0) é o resíduo da função f no pólo z0 = 3.
Vamos calcular esse resíduo.

Passo 6

Para um pólo simples (que é o caso aqui), o resíduo é dado por:
Res(f, z0) = limz to z0 (z - z0) f(z)
Então, substituindo z0 = 3:
Res(z e^z - iz^2 - 2z - 3, 3) = limz to 3 (z - 3) z e^z - i(z - 3)(z + 1) = limz to 3 z e^z - iz + 1
Agora substituímos z = 3:
3 e^3 - i3 + 1 = 3 e^3 - i4

Passo 7

Finalmente, aplicando o Teorema dos Resíduos:
integralgamma z e^z - iz^2 - 2z - 3 , dz = 2pi i times 3 e^3 - i4 = 32 pi i e^3 - i

Resposta

A integral vale dfrac32 pi i, e^3 - i.

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