Mostre que integralC d zz^2+1 <= 3 pi16, onde C é o arco de círculo situado no primeiro quadrante, centrado na origem e de raio 3 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a integral é menor ou igual a . O caminho é um arco de círculo no primeiro quadrante, com centro na origem e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especificamente sobre integrais de caminho e estimativas de módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa integrar ao longo do caminho . No cálculo complexo, a integral de caminho envolve somar os valores da função ao longo de um caminho específico no plano complexo. Aqui, representa um número complexo no arco de círculo dado.

Passo 3

Para facilitar a resolução, vamos parametrizar o caminho z = 3e^itheta . Como é um arco de círculo no primeiro quadrante com raio 3, podemos expressar em termos de um ângulo :
onde varia de 0 a (já que é o primeiro quadrante).

Passo 4

Agora, vamos calcular dz = ddtheta(3e^itheta) = 3ie^ithetadtheta , que é a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de .

Passo 5

Substituindo integralC dzz^2+1 = integral0^pi2 3ie^ithetadtheta(3e^itheta)^2 + 1 = integral0^pi2 3ie^ithetadtheta9e^2itheta + 1 e na integral, temos:
Isso simplifica a expressão para termos de .

Passo 6

Para estimar o valor absoluto dessa integral, usamos a desigualdade triangular. Sabemos que:
| integralC dzz^2+1 | <= integralC | dzz^2+1 |
Ou seja, o módulo da integral é menor ou igual à integral do módulo da função.

Passo 7

Vamos calcular |dz| = |3ie^ithetadtheta| = 3|i| |e^itheta| dtheta = 3 cdot 1 cdot 1 cdot dtheta = 3dtheta . Primeiro, o módulo de :
Já que e .

Passo 8

Agora, calculamos o módulo de |z^2 + 1| = |9e^2itheta + 1| :
|9e^2itheta + 1| >= ||9e^2itheta| - |1|| = |9 - 1| = 8
Usando a desigualdade triangular, temos:
Então, .

Passo 9

Com isso, podemos estimar | dzz^2+1 | = |dz||z^2+1| <= 3dtheta8 = 38dtheta :
Isso simplifica a integral para algo que podemos calcular facilmente.

Passo 10

Finalmente, integramos essa estimativa ao longo de integralC | dzz^2+1 | <= integral0^pi2 38dtheta = 38 cdot pi2 = 3pi16 de 0 a :

Resposta

Assim, mostramos que .

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