Mostre que , onde é o arco de círculo situado no primeiro quadrante, centrado na origem e de raio 3 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa mostrar que a integral é menor ou igual a . O caminho é um arco de círculo no primeiro quadrante, com centro na origem e raio 3. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo complexo, especificamente sobre integrais de caminho e estimativas de módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa integrar ao longo do caminho . No cálculo complexo, a integral de caminho envolve somar os valores da função ao longo de um caminho específico no plano complexo. Aqui, representa um número complexo no arco de círculo dado.
Passo 3
Para facilitar a resolução, vamos parametrizar o caminho . Como é um arco de círculo no primeiro quadrante com raio 3, podemos expressar em termos de um ângulo :
onde varia de 0 a (já que é o primeiro quadrante).
Passo 4
Agora, vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Isso nos ajuda a transformar a integral em termos de .
Passo 5
Substituindo e na integral, temos:
Isso simplifica a expressão para termos de .
Passo 6
Para estimar o valor absoluto dessa integral, usamos a desigualdade triangular. Sabemos que:
Ou seja, o módulo da integral é menor ou igual à integral do módulo da função.