Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria. Isso significa que o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar técnicas de frações parciais e analisar o comportamento da função quando vai para o infinito para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da integral:
Percebemos que o grau do numerador é igual ao do denominador (), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo por , obtemos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é fácil de integrar, então vamos focar na segunda parte que envolve uma fração mais complicada.
Passo 4
Para integrar a segunda parte, precisamos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompôr a fração:
Resolvendo para , , e , encontramos:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente.
Passo 6
Integrando cada parte:
Passo 7
Juntando tudo, a primitiva é:
Agora, aplicamos os limites de 4 até .
Passo 8
Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
tende a
Os termos com logaritmo se cancelam devido aos coeficientes