Calcule a integral imprópria

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria. Isso significa que o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar técnicas de frações parciais e analisar o comportamento da função quando vai para o infinito para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da integral:
Percebemos que o grau do numerador é igual ao do denominador ( ), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo por , obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é fácil de integrar, então vamos focar na segunda parte que envolve uma fração mais complicada.

Passo 4

Para integrar a segunda parte, precisamos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompôr a fração:
Resolvendo para , , e , encontramos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente.

Passo 6

Integrando cada parte:

Passo 7

Juntando tudo, a primitiva é:
Agora, aplicamos os limites de 4 até .

Passo 8

Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
  • tende a
  • Os termos com logaritmo se cancelam devido aos coeficientes
  • tende a
Portanto, o termo dominante é que vai para .

Resposta

A integral diverge para , ou seja:

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Mostre que: