Calcule a integral imprópria
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria. Isso significa que o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar técnicas de frações parciais e analisar o comportamento da função quando
vai para o infinito para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da integral:
Percebemos que o grau do numerador é igual ao do denominador (
), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo
por
, obtemos:
Então, a integral fica:
Passo 3
Vamos separar essa integral em duas partes:
A primeira parte é fácil de integrar, então vamos focar na segunda parte que envolve uma fração mais complicada.
Passo 4
Para integrar a segunda parte, precisamos fatorar o denominador:
Agora, usamos frações parciais para decompôr a fração:
Resolvendo para
,
,
e
, encontramos:
Passo 5
Substituindo de volta na integral, temos:
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente.
Passo 6
Integrando cada parte:
Passo 7
Juntando tudo, a primitiva é:
Agora, aplicamos os limites de 4 até
.
Passo 8
Analisando o comportamento quando
tende ao infinito:
-
tende a - Os termos com logaritmo se cancelam devido aos coeficientes
-
tende a
Portanto, o termo dominante é
que vai para
.
Resposta
A integral diverge para
, ou seja: