Calcule a integral imprópria
integral4^+infty 3 x^4+12 x^2-2 x-8x^4-3 x^2-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular uma integral imprópria. Isso significa que o limite de integração vai até o infinito. Vamos precisar usar técnicas de frações parciais e analisar o comportamento da função quando vai para o infinito para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração que está dentro da integral:
3x^4 + 12x^2 - 2x - 8x^4 - 3x^2 - 4
Percebemos que o grau do numerador é igual ao do denominador ( 3 + 21x^2 - 2x + 4x^4 - 3x^2 - 4 ), então podemos fazer uma divisão polinomial para simplificar.
Dividindo integral4^+infty (3 + 21x^2 - 2x + 4x^4 - 3x^2 - 4) dx por , obtemos:
Então, a integral fica:

Passo 3

Vamos separar essa integral em duas partes:
integral4^+infty 3 , dx + integral4^+infty 21x^2 - 2x + 4x^4 - 3x^2 - 4 , dx
A primeira parte é fácil de integrar, então vamos focar na segunda parte que envolve uma fração mais complicada.

Passo 4

Para integrar a segunda parte, precisamos fatorar o denominador:
x^4 - 3x^2 - 4 = (x^2 - 4)(x^2 + 1) = (x - 2)(x + 2)(x^2 + 1)
Agora, usamos frações parciais para decompôr a fração:
21x^2 - 2x + 4(x - 2)(x + 2)(x^2 + 1) = Ax - 2 + Bx + 2 + Cx + Dx^2 + 1
Resolvendo para A = 215, B = -235, C = 25, D = 175 , , e , encontramos:

Passo 5

Substituindo de volta na integral, temos:
integral4^+infty (3 + 2151x - 2 - 2351x + 2 + 25xx^2 + 1 + 1751x^2 + 1) dx
Agora, cada termo pode ser integrado separadamente.

Passo 6

Integrando cada parte:

Passo 7

Juntando tudo, a primitiva é:
3x + 215 ln|x - 2| - 235 ln|x + 2| + 15 ln(x^2 + 1) + 175 tan^-1(x) + C
Agora, aplicamos os limites de 4 até .

Passo 8

Analisando o comportamento quando tende ao infinito:
  • tende a
  • Os termos com logaritmo se cancelam devido aos coeficientes
  • tende a
Portanto, o termo dominante é que vai para .

Resposta

A integral diverge para integral4^+infty 3 x^4+12 x^2-2 x-8x^4-3 x^2-4 , dx = +infty , ou seja:

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