Seja
um campo escalar que admite derivadas parciais segundas contínuas no aberto
. Prove que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar
que está definida em um espaço aberto
e que possui derivadas parciais segundas contínuas. A tarefa é provar que o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e rotacional, e a propriedade das derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de
, denotado por
, é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de
e é dado por:
Passo 3
Agora, vamos lembrar o que é o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. O rotacional de um vetor $ \mathbf{F} = (F_1, F_2, \dots, F_n) $ em
é dado por:
No caso geral em
, o conceito de rotacional se estende de maneira similar, envolvendo as derivadas parciais cruzadas.
Passo 4
Vamos aplicar o rotacional ao gradiente de
. Substituindo
na fórmula do rotacional:
Passo 5
Como a função
possui derivadas parciais segundas contínuas, pelo teorema de Schwarz (ou teorema da igualdade das derivadas mistas), temos que:
Isso significa que cada componente do rotacional será zero, pois estamos subtraindo as mesmas derivadas.
Resposta
Portanto, concluímos que:
Exercícios relacionados
Calcule a integral imprópria
Mostre que:
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.