Seja um campo escalar que admite derivadas parciais segundas contínuas no aberto . Prove que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função escalar que está definida em um espaço aberto e que possui derivadas parciais segundas contínuas. A tarefa é provar que o rotacional do gradiente dessa função é igual a zero, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como gradiente e rotacional, e a propriedade das derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de , denotado por , é um vetor que aponta na direção de maior crescimento de e é dado por:

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é o rotacional (ou rot) de um campo vetorial. O rotacional de um vetor $ \mathbf{F} = (F_1, F_2, \dots, F_n) $ em é dado por:
No caso geral em , o conceito de rotacional se estende de maneira similar, envolvendo as derivadas parciais cruzadas.

Passo 4

Vamos aplicar o rotacional ao gradiente de . Substituindo na fórmula do rotacional:

Passo 5

Como a função possui derivadas parciais segundas contínuas, pelo teorema de Schwarz (ou teorema da igualdade das derivadas mistas), temos que:
Isso significa que cada componente do rotacional será zero, pois estamos subtraindo as mesmas derivadas.

Resposta

Portanto, concluímos que:

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Calcule a integral imprópria
Mostre que:
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.