Verifique para que valores de a seguinte integral é convergente

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de a seguinte integral converge:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função integranda quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que para muito grande, os termos de menor grau nas expressões polinomiais se tornam desprezíveis. Então, vamos simplificar cada parte da função integranda considerando apenas os termos dominantes.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da primeira fração:
Portanto:

Passo 4

Agora, o denominador da primeira fração:
Então:

Passo 5

Vamos simplificar a segunda parte da função integranda:
Portanto:

Passo 6

Agora, juntando todas as aproximações, a função integranda para fica aproximadamente:

Passo 7

A integral vai convergir se a potência de na função simplificada for menor que -1. Então, precisamos que:

Passo 8

Vamos resolver a inequação:
Encontramos as raízes da equação quadrática :

Passo 9

Como o coeficiente de é positivo, a inequação é satisfeita entre as raízes:

Passo 10

Como estamos procurando valores de , a solução final é:

Resposta

A integral é convergente para todo tal que .

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