Verifique para que valores de a seguinte integral é convergente
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de a seguinte integral converge:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função integranda quando vai para o infinito.
Passo 2
Primeiro, observe que para muito grande, os termos de menor grau nas expressões polinomiais se tornam desprezíveis. Então, vamos simplificar cada parte da função integranda considerando apenas os termos dominantes.
Passo 3
Vamos simplificar o numerador da primeira fração:
Portanto:
Passo 4
Agora, o denominador da primeira fração:
Então:
Passo 5
Vamos simplificar a segunda parte da função integranda:
Portanto:
Passo 6
Agora, juntando todas as aproximações, a função integranda para fica aproximadamente:
Passo 7
A integral vai convergir se a potência de na função simplificada for menor que -1. Então, precisamos que:
Passo 8
Vamos resolver a inequação:
Encontramos as raízes da equação quadrática :
Passo 9
Como o coeficiente de é positivo, a inequação é satisfeita entre as raízes:
Passo 10
Como estamos procurando valores de , a solução final é: