Verifique para que valores de a>0 a seguinte integral é convergente
integral2024^+infty[(2 x^(3 a^2)+11)^1 / 3raiz[5]153+4 x^(30 a) cdot raiz[3](x^13+3 x^7+10x^4+2 x+7)^2] d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para descobrir para quais valores de integral2024^+infty[(2 x^3 a^2+11)^1 / 3raiz[5]153+4 x^30 a cdot raiz[3](x^13+3 x^7+10x^4+2 x+7)^2] d x a seguinte integral converge:
Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais impróprias e analisar o comportamento da função integranda quando vai para o infinito.

Passo 2

Primeiro, observe que para muito grande, os termos de menor grau nas expressões polinomiais se tornam desprezíveis. Então, vamos simplificar cada parte da função integranda considerando apenas os termos dominantes.

Passo 3

Vamos simplificar o numerador da primeira fração:
2x^3a^2 + 11 approx 2x^3a^2 quando x to infty
Portanto:
(2x^3a^2 + 11)^1/3 approx (2x^3a^2)^1/3 = 2^1/3x^a^2

Passo 4

Agora, o denominador da primeira fração:
153 + 4x^30a approx 4x^30a quando x to infty
Então:
raiz[5]153 + 4x^30a approx raiz[5]4x^30a = 4^1/5x^6a

Passo 5

Vamos simplificar a segunda parte da função integranda:
x^13 + 3x^7 + 10x^4 + 2x + 7 approx x^13x^4 = x^9 quando x to infty
Portanto:
raiz[3](x^13 + 3x^7 + 10x^4 + 2x + 7)^2 approx raiz[3](x^9)^2 = raiz[3]x^18 = x^6

Passo 6

Agora, juntando todas as aproximações, a função integranda para 2^1/3x^a^24^1/5x^6a cdot x^6 = 2^1/34^1/5 cdot x^a^2 - 6a + 6 fica aproximadamente:

Passo 7

A integral vai convergir se a potência de a^2 - 6a + 6 < -1 na função simplificada for menor que -1. Então, precisamos que:

Passo 8

Vamos resolver a inequação:
a^2 - 6a + 6 < -1 a^2 - 6a + 7 < 0
Encontramos as raízes da equação quadrática a = 6 pm raiz36 - 282 = 6 pm raiz82 = 6 pm 2raiz22 = 3 pm raiz2 :

Passo 9

Como o coeficiente de 3 - raiz2 < a < 3 + raiz2 é positivo, a inequação é satisfeita entre as raízes:

Passo 10

Como estamos procurando valores de 0 < a < 3 + raiz2 , a solução final é:

Resposta

A integral é convergente para todo tal que .

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