Mostre que:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a soma infinita de , começando de , é igual a . Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração . Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompor frações complexas em frações mais simples.

Passo 3

Vamos escrever como . Agora, precisamos encontrar os valores de e que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para e .

Passo 5

Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo , os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema:

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (dividindo por 2)
Da segunda equação:
Somando as duas equações:

Substituindo em :

Passo 8

Então, a fração inicial se decompõe em:

Passo 9

Agora, substituímos isso na soma infinita:

Passo 10

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam:
Todos os termos intermediários se anulam, restando apenas:

Resposta

Portanto, a soma infinita é igual a .

Exercícios relacionados

Seja um campo escalar que admite derivadas parciais segundas contínuas no aberto . Prove que .
Calcule a integral imprópria
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.
[0,5] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.