Mostre que:
sumn=1^infty 1(2 n-1)(2 n+1)=12

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a soma infinita de 1(2n-1)(2n+1), começando de n=1, é igual a 12. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a fração 1(2n-1)(2n+1). Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompor frações complexas em frações mais simples.

Passo 3

Vamos escrever 1(2n-1)(2n+1) como A2n-1 + B2n+1. Agora, precisamos encontrar os valores de A e B que satisfazem essa igualdade.

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por (2n-1)(2n+1) para eliminar os denominadores, temos:
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Agora, vamos resolver para A e B.

Passo 5

Expandindo a equação:
1 = 2A n + A + 2B n - B
Agrupando os termos semelhantes:
1 = (2A + 2B)n + (A - B)

Passo 6

Para que essa igualdade seja verdadeira para todo n, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema:
2A + 2B = 0 A - B = 1

Passo 7

Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: A + B = 0 (dividindo por 2)
Da segunda equação: A - B = 1
Somando as duas equações:
2A = 1 Rightarrow A = 12
Substituindo em A + B = 0: 12 + B = 0 Rightarrow B = -12

Passo 8

Então, a fração inicial se decompõe em:
1(2n-1)(2n+1) = 1/22n-1 - 1/22n+1

Passo 9

Agora, substituímos isso na soma infinita:
sumn=1^infty (1/22n-1 - 1/22n+1) = 12 sumn=1^infty (12n-1 - 12n+1)

Passo 10

Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam:
12 ( (11 - 13) + (13 - 15) + (15 - 17) + cdots )
Todos os termos intermediários se anulam, restando apenas:
12 cdot 1 = 12

Resposta

Portanto, a soma infinita sumn=1^infty 1(2n-1)(2n+1) é igual a 12.

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