Mostre que:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrarmos que a soma infinita de
, começando de
, é igual a
. Vamos usar conhecimentos de séries infinitas e frações parciais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a fração
. Para isso, usamos a técnica de frações parciais, que nos ajuda a decompor frações complexas em frações mais simples.
Passo 3
Vamos escrever
como
. Agora, precisamos encontrar os valores de
e
que satisfazem essa igualdade.
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar os denominadores, temos:
Agora, vamos resolver para
e
.
Passo 5
Expandindo a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, os coeficientes dos termos correspondentes devem ser iguais. Então, temos o sistema:
Passo 7
Resolvendo o sistema:
Da primeira equação: (dividindo por 2)
Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo em :
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Somando as duas equações:
Substituindo em
Passo 8
Então, a fração inicial se decompõe em:
Passo 9
Agora, substituímos isso na soma infinita:
Passo 10
Observamos que essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam:
Todos os termos intermediários se anulam, restando apenas:
Resposta
Portanto, a soma infinita
é igual a
.
Exercícios relacionados
Seja
um campo escalar que admite derivadas parciais segundas contínuas no aberto
. Prove que
.
Calcule a integral imprópria
[0,4] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.
[0,5] Determine a derivada das seguintes funções. Simplifique a expressão obtida, se possível.