Dada g(t) = t csc(t), calcule a equação da reta tangente ao gráfico de g no ponto (pi / 4, g(pi / 4)).
Resposta: y - raiz(2) * pi / 4 = raiz(2) * (1 - pi / 4) * (x - pi / 4)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso significa substituir por na expressão da função:
Sabemos que , então:
Como , temos:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função no ponto . Vamos calcular a derivada .
A função é o produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Sabemos que:
Então, substituindo:

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que e . Substituindo esses valores:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação encontrada e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • é a inclinação da reta
  • é o ponto de tangência
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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