Dada
, calcule a equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
.
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função
e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função
no ponto
. Isso significa substituir
por
na expressão da função:
Sabemos que
, então:
Como
, temos:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função
no ponto
. Vamos calcular a derivada
.
A função
é o produto de duas funções:
e
. Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Sabemos que:
Então, substituindo:
Passo 4
Vamos agora avaliar a derivada
no ponto
:
Sabemos que
e
. Substituindo esses valores:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto
é
.
Passo 5
Com a inclinação encontrada e o ponto de tangência
, podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde:
-
é a inclinação da reta -
é o ponto de tangência
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da reta tangente ao gráfico de
no ponto
é: