Dada , calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Resposta:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisamos encontrar a equação da reta tangente ao gráfico dessa função no ponto . Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo diferencial, como derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto . Isso significa substituir por na expressão da função:
Sabemos que , então:
Como , temos:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a inclinação da reta tangente, que é dada pela derivada da função no ponto . Vamos calcular a derivada .
A função é o produto de duas funções: e . Para derivar esse produto, usamos a regra do produto:
Sabemos que:
Então, substituindo:

Passo 4

Vamos agora avaliar a derivada no ponto :
Sabemos que e . Substituindo esses valores:
Então, a inclinação da reta tangente no ponto é .

Passo 5

Com a inclinação encontrada e o ponto de tangência , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
Onde:
  • é a inclinação da reta
  • é o ponto de tangência
Substituindo os valores:

Resposta

A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto é:

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Calcule a integral indefinida:
Determine a área limitada:
(25.1) pelo eixo e a curva de equações paramétricas
(25.2) pelas curvas de equações e
(25.3) pelo laço de curva
(25.4) pelo laço de curva
Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
(15.1) Esboce e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de .
(15.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.