Seja a região do plano limitado pelas curvas e .
(15.1) Esboce e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de .
(15.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma região no plano que é delimitada pelas curvas e . Vamos resolver três partes:
1. Esboçar a região e calcular a sua área.
2. Encontrar o centróide dessa região.
3. Girar a região em torno da reta e calcular o volume do sólido formado usando o teorema de Pappus-Guldin.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, geometria analítica e o teorema de Pappus-Guldin.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região . Para isso, precisamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando e :
Somando aos dois lados:
Dividindo por 2:
Então, e . Esses são os pontos de interseção.
Passo 3
Agora, vamos determinar a área entre essas curvas de a . A área pode ser calculada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Passo 5
Então, a área da região é unidades quadradas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o centróide da região . Como a região é simétrica em relação ao eixo , sabemos que . Vamos calcular :
Aqui, será a média das duas funções:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Portanto, o centróide da região é .
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o volume do sólido formado ao girar a região em torno da reta usando o teorema de Pappus-Guldin. Esse teorema diz que o volume é igual à área vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centróide:
Onde é a distância do centróide à reta de rotação. Aqui, .
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
O volume do sólido é unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Dada , calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto .
Resposta:
Calcule a integral indefinida:
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada:
(14.1) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse
(14.2) Área delimitada pela curva e o eixo
(14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta .