Seja a região do plano limitado pelas curvas e . (15.1) Esboce e calcule a sua área. (15.2) Calcule o centróide de . (15.3) A região é girado em torno da reta formando um sólido . Calcule o volume de , usando o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma região no plano que é delimitada pelas curvas e . Vamos resolver três partes: 1. Esboçar a região e calcular a sua área. 2. Encontrar o centróide dessa região. 3. Girar a região em torno da reta e calcular o volume do sólido formado usando o teorema de Pappus-Guldin. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, geometria analítica e o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . Para isso, precisamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando e : Somando aos dois lados: Dividindo por 2: Então, e . Esses são os pontos de interseção.

Passo 3

Agora, vamos determinar a área entre essas curvas de a . A área pode ser calculada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:

Passo 4

Vamos calcular essa integral: Substituindo os limites:

Passo 5

Então, a área da região é unidades quadradas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o centróide da região . Como a região é simétrica em relação ao eixo , sabemos que . Vamos calcular : çãçã Aqui, será a média das duas funções:

Passo 7

Calculando a integral:

Passo 8

Portanto, o centróide da região é .

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o volume do sólido formado ao girar a região em torno da reta usando o teorema de Pappus-Guldin. Esse teorema diz que o volume é igual à área vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centróide: Onde é a distância do centróide à reta de rotação. Aqui, .

Passo 10

Substituindo os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Dada , calcule a equação da reta tangente ao gráfico de no ponto . Resposta:
Calcule a integral indefinida:
Determine as coordenadas do centro de gravidade da região plana especificada: (14.1) Região no primeiro quadrante, delimitada pela elipse (14.2) Área delimitada pela curva e o eixo (14.3) Área delimitada pela parábola e pela reta .