Seja
a região do plano limitado pelas curvas
e
.
(15.1) Esboce
e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de
.
(15.3) A região
é girado em torno da reta
formando um sólido
. Calcule o volume de
, usando o teorema de Pappus-Guldin.
(15.1) Esboce
(15.2) Calcule o centróide de
(15.3) A região
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma região
no plano que é delimitada pelas curvas
e
. Vamos resolver três partes:
- Esboçar a região
e calcular a sua área. - Encontrar o centróide dessa região.
- Girar a região
em torno da reta e calcular o volume do sólido formado usando o teorema de Pappus-Guldin.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, geometria analítica e o teorema de Pappus-Guldin.
Passo 2
Primeiro, vamos esboçar a região
. Para isso, precisamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando
e
:
Somando
aos dois lados:
Dividindo por 2:
Então,
e
. Esses são os pontos de interseção.
Passo 3
Agora, vamos determinar a área entre essas curvas de
a
. A área
pode ser calculada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:
Passo 4
Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:
Passo 5
Então, a área da região
é
unidades quadradas.
Passo 6
Agora, vamos encontrar o centróide
da região
. Como a região é simétrica em relação ao eixo
, sabemos que
. Vamos calcular
:
Aqui,
será a média das duas funções:
Passo 7
Calculando a integral:
Passo 8
Portanto, o centróide da região
é
.
Passo 9
Finalmente, vamos calcular o volume do sólido
formado ao girar a região
em torno da reta
usando o teorema de Pappus-Guldin. Esse teorema diz que o volume
é igual à área
vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centróide:
Onde
é a distância do centróide à reta de rotação. Aqui,
.
Passo 10
Substituindo os valores:
Resposta
O volume do sólido
é
unidades cúbicas.