Seja R a região do plano limitado pelas curvas y = x^2 e y = -x^2 + 2.
(15.1) Esboce R e calcule a sua área.
(15.2) Calcule o centróide de R.
(15.3) A região R é girado em torno da reta x = 2 formando um sólido D. Calcule o volume de D, usando o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma região no plano que é delimitada pelas curvas e . Vamos resolver três partes:
  1. Esboçar a região e calcular a sua área.
  2. Encontrar o centróide dessa região.
  3. Girar a região em torno da reta e calcular o volume do sólido formado usando o teorema de Pappus-Guldin.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral, geometria analítica e o teorema de Pappus-Guldin.

Passo 2

Primeiro, vamos esboçar a região . Para isso, precisamos entender onde as duas curvas se encontram. Igualando e :
Somando aos dois lados:
Dividindo por 2:
Então, e . Esses são os pontos de interseção.

Passo 3

Agora, vamos determinar a área entre essas curvas de a . A área pode ser calculada pela integral da diferença das funções superiores e inferiores:

Passo 4

Vamos calcular essa integral:
Substituindo os limites:

Passo 5

Então, a área da região é unidades quadradas.

Passo 6

Agora, vamos encontrar o centróide da região . Como a região é simétrica em relação ao eixo , sabemos que . Vamos calcular :
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Aqui, será a média das duas funções:

Passo 7

Calculando a integral:

Passo 8

Portanto, o centróide da região é .

Passo 9

Finalmente, vamos calcular o volume do sólido formado ao girar a região em torno da reta usando o teorema de Pappus-Guldin. Esse teorema diz que o volume é igual à área vezes o comprimento do caminho percorrido pelo centróide:
Onde é a distância do centróide à reta de rotação. Aqui, .

Passo 10

Substituindo os valores:

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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