Calcule a integral integral0^1 integralx^1 sen(y^2) d y d x.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla . Isso envolve integrar a função sobre uma certa região no plano . Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e talvez trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos visualizar a região onde vamos integrar. O limite externo é indo de 0 a 1, e para cada , vai de a 1. Isso forma uma área triangular no gráfico. Para simplificar a integração, podemos trocar a ordem dos limites, fazendo com que varie de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a .

Passo 3

Com a ordem trocada, nossa integral fica: . Note que não depende de , então podemos simplificar essa parte.

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. Como é constante em relação a , a integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 5

Agora, nossa integral reduz-se a . Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral, temos 12 [ -cos(u) ]0^1 = 12 ( -cos(1) + cos(0) ) . A integral de 12 ( 1 - cos(1) ) é , então:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

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