Calcule a integral .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla . Isso envolve integrar a função sobre uma certa região no plano . Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e talvez trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos visualizar a região onde vamos integrar. O limite externo é indo de 0 a 1, e para cada , vai de a 1. Isso forma uma área triangular no gráfico. Para simplificar a integração, podemos trocar a ordem dos limites, fazendo com que varie de 0 a 1 e, para cada , vai de 0 a .

Passo 3

Com a ordem trocada, nossa integral fica: . Note que não depende de , então podemos simplificar essa parte.

Passo 4

Vamos integrar em relação a primeiro. Como é constante em relação a , a integral de de 0 a é simplesmente .

Passo 5

Agora, nossa integral reduz-se a . Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja , então ou .

Passo 6

Substituindo na integral, temos . A integral de é , então:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral vale .

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Calcule os limites abaixo, se existir.
a) Qual a mais baixa nota (frequência) para a qual ocorre a maior interferência destrutiva? Resp:
b) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência destrutiva? Resposta:
c) Qual a mais baixa nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta:
d) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta: .
d)
Calcule o valor do módulo de elasticidade volumétrico da água.
b) Calcule a velocidade som na água.
Compare seus resultados com aqueles da literatura. Seus resultados fazem sentido?