Calcule a integral
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular a integral dupla
. Isso envolve integrar a função
sobre uma certa região no plano
. Para resolver, vamos precisar usar conhecimentos de integrais duplas e talvez trocar a ordem de integração para facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos visualizar a região onde vamos integrar. O limite externo é
indo de 0 a 1, e para cada
,
vai de
a 1. Isso forma uma área triangular no gráfico. Para simplificar a integração, podemos trocar a ordem dos limites, fazendo com que
varie de 0 a 1 e, para cada
,
vai de 0 a
.
Passo 3
Com a ordem trocada, nossa integral fica:
. Note que
não depende de
, então podemos simplificar essa parte.
Passo 4
Vamos integrar em relação a
primeiro. Como
é constante em relação a
, a integral de
de 0 a
é simplesmente
.
Passo 5
Agora, nossa integral reduz-se a
. Para resolver isso, vamos usar uma substituição. Seja
, então
ou
.
Passo 6
Substituindo na integral, temos
. A integral de
é
, então:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral vale
.
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Calcule os limites abaixo, se existir.
a) Qual a mais baixa nota (frequência) para a qual ocorre a maior interferência destrutiva? Resp:
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c) Qual a mais baixa nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta:
d) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta: .
b) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência destrutiva? Resposta:
c) Qual a mais baixa nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta:
d) Qual a mais alta nota para a qual ocorre a maior interferência construtiva? Resposta:
d)
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Compare seus resultados com aqueles da literatura. Seus resultados fazem sentido?
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