d) lim x p sec x-sec px-p

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos o limite de uma expressão que envolve a função secante quando se aproxima de . O conteúdo que vamos usar aqui é o conceito de derivada, que nos permite encontrar a taxa de variação de uma função em um ponto específico. Para resolver isso, vamos precisar conhecer a definição de derivada e a fórmula da derivada da função secante.

Passo 2

A expressão dada no limite é:
limx p sec x - sec px - p
Essa expressão se assemelha à definição de derivada de uma função f'(p) = limx p f(x) - f(p)x - p em f(x) = sec x , que é:
Portanto, podemos identificar que:

Passo 3

Agora, sabemos que a derivada de f'(x) = sec x tan x é dada por:
Essa é uma regra de derivação que podemos aplicar diretamente.

Passo 4

Aplicando a fórmula da derivada no ponto f'(p) = sec p tan p , temos:
Portanto, o limite que queremos calcular é exatamente essa derivada no ponto .

Resposta

limx p sec x - sec px - p = sec p tan p

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