Calcule a integral
integral0^pi integral0^x^2 y cdot sen x d y d x

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede pra gente calcular uma integral dupla:
integral0^pi integral0^x^2 y cdot sen x , dy , dx
Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como resolver integrais iteradas, ou seja, resolver uma integral dentro da outra, e entender um pouco de trigonometria, já que temos a função seno envolvida.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na integral interna:
integral0^x^2 y cdot sen x , dy
Nessa integral, o que está dentro é em relação a , e o está multiplicando . Como estamos integrando em relação a , o pode ser tratado como uma constante.

Passo 3

Vamos resolver a integral interna. Sabemos que:
integral y , dy = y^22 + C
Então, aplicando isso:
integral0^x^2 y cdot sen x , dy = sen x cdot [ y^22 ]0^x^2 = sen x cdot ( (x^2)^22 - 0 ) = sen x cdot x^42
Ou seja:
x^42 cdot sen x

Passo 4

Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^pi x^42 cdot sen x , dx
Podemos tirar o 12 integral0^pi x^4 cdot sen x , dx da integral, ficando:
Essa é uma integral que envolve um polinômio ( ) multiplicado por uma função trigonométrica ( ). Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.

Passo 5

A integração por partes é dada por:
integral u , dv = u cdot v - integral v , du
Vamos escolher:
u = x^4 Rightarrow du = 4x^3 dx
dv = sen x , dx Rightarrow v = -cos x
Aplicando a fórmula:
integral x^4 cdot sen x , dx = -x^4 cdot cos x + integral 4x^3 cdot cos x , dx

Passo 6

Precisamos repetir a integração por partes para a integral u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx . Vamos ajustar os termos:
dv = cos x , dx Rightarrow v = sen x
integral 4x^3 cdot cos x , dx = 4 ( x^3 cdot sen x - integral 3x^2 cdot sen x , dx )
Então:
4x^3 sen x - 12 integral x^2 sen x , dx
Simplificando:

Passo 7

Continuamos aplicando integração por partes para u = x^2 Rightarrow du = 2x , dx :
dv = sen x , dx Rightarrow v = -cos x
integral x^2 sen x , dx = -x^2 cos x + integral 2x cos x , dx
Então:

Passo 8

Mais uma integração por partes para u = x Rightarrow du = dx :
dv = cos x , dx Rightarrow v = sen x
integral 2x cos x , dx = 2 ( x sen x - integral sen x , dx ) = 2x sen x + 2 cos x
Então:
integral x^2 sen x , dx = -x^2 cos x + 2x sen x + 2 cos x
Substituindo de volta:

Passo 9

Voltando para a parte anterior:
4x^3 sen x - 12 ( -x^2 cos x + 2x sen x + 2 cos x )
Simplificando:
4x^3 sen x + 12x^2 cos x - 24x sen x - 24 cos x

Passo 10

Agora, juntando tudo na integral original:
integral x^4 sen x , dx = -x^4 cos x + 4x^3 sen x + 12x^2 cos x - 24x sen x - 24 cos x + C
Agora, aplicamos os limites de 0 a [ -x^4 cos x + 4x^3 sen x + 12x^2 cos x - 24x sen x - 24 cos x ]0^pi :

Passo 11

Calculando nos limites:
Para -pi^4 cos pi + 4pi^3 sen pi + 12pi^2 cos pi - 24pi sen pi - 24 cos pi :
-pi^4 (-1) + 0 + 12pi^2 (-1) - 0 - 24 (-1) = pi^4 - 12pi^2 + 24
Sabemos que -0^4 cos 0 + 4 cdot 0^3 sen 0 + 12 cdot 0^2 cos 0 - 24 cdot 0 sen 0 - 24 cos 0 = -24 cdot 1 = -24 e (pi^4 - 12pi^2 + 24) - (-24) = pi^4 - 12pi^2 + 48 , então:
Para :
Subtraindo:

Passo 12

Lembrando que nossa integral externa tinha um 12 (pi^4 - 12pi^2 + 48) = pi^42 - 6pi^2 + 24 :

Resposta

A integral vale:
pi^42 - 6pi^2 + 24

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