Calcule a integral
Passo 1
Então, vamos lá! A questão pede pra gente calcular uma integral dupla:
Aqui estamos trabalhando com cálculo integral, mais especificamente integrais duplas. Vamos precisar saber como resolver integrais iteradas, ou seja, resolver uma integral dentro da outra, e entender um pouco de trigonometria, já que temos a função seno envolvida.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na integral interna:
Nessa integral, o que está dentro é em relação a
, e o
está multiplicando
. Como estamos integrando em relação a
, o
pode ser tratado como uma constante.
Passo 3
Vamos resolver a integral interna. Sabemos que:
Então, aplicando isso:
Ou seja:
Passo 4
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Podemos tirar o
da integral, ficando:
Essa é uma integral que envolve um polinômio (
) multiplicado por uma função trigonométrica (
). Para resolver, vamos usar a técnica de integração por partes.
Passo 5
A integração por partes é dada por:
Vamos escolher:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Precisamos repetir a integração por partes para a integral
. Vamos ajustar os termos:
Então:
Simplificando:
Passo 7
Continuamos aplicando integração por partes para
:
Então:
Passo 8
Mais uma integração por partes para
:
Então:
Substituindo de volta:
Passo 9
Voltando para a parte anterior:
Simplificando:
Passo 10
Agora, juntando tudo na integral original:
Agora, aplicamos os limites de 0 a
:
Passo 11
Calculando nos limites:
Para :
Para
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Subtraindo:
Passo 12
Lembrando que nossa integral externa tinha um
:
Resposta
A integral vale:
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Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
.
Mostre que a equação
tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.
Usando a derivada de logaritmo, calcule
:
Explique o significado de
O que você pode dizer sobre o limite de
quando
tende a 1?