Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangentes e normais à curva
no ponto onde
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas para encontrar a inclinação das retas e, em seguida, aplicar a fórmula da equação da reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, ou seja, o valor da função no ponto onde
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada de
para obter a inclinação da reta tangente no ponto
.
A derivada de
é:
Passo 4
Calculamos
:
Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto
é 1.
Passo 5
Com a inclinação da reta tangente e o ponto
, usamos a fórmula da equação da reta:
Onde
,
, e
.
Substituindo:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 6
Agora, para encontrar a equação da reta normal, que é perpendicular à tangente, a inclinação da normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente.
Como a inclinação da tangente é 1, a inclinação da normal será
.
Passo 7
Usando novamente a fórmula da reta com
,
, e
:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
As equações das retas são:
Reta Tangente:
Reta Normal:
Exercícios relacionados
Mostre que a equação
tem duas e somente duas raízes, uma negativa e a outra positiva.
Determine as equações das retas tangentes e da normais às curvas, no pontos de abcissas dadas:
;
Calcule a integral
Usando a derivada de logaritmo, calcule
: